[BTSCG1] S1 - Suites Géométriques

22 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

1. Comment se note une suite ?

   (un)(u_n)(un​) avec parenthèses

2. comment appelle-t-on les nombres dans une suite ?

   les termes

3. Comment note-t-on un terme d'une suite (un)(u_n)(un​) ?

   unu_nun​ sans parenthèse

4. comment appelle-t-on le nnn dans unu_nun​ ?

   l'indice ou le rang

5. Quel est le premier terme de la suite (un)(u_n)(un​) ?

   u0u_0u0​

6. Quel est le 2ème terme de la suite (un)(u_n)(un​) ?

   u1u_1u1​

7. Quel est le 10ème terme de la suite (un)(u_n)(un​) ?

   u9u_9u9​ remarque : attention il y a un décalage car le premier terme est u0u_0u0​

8. Quel est le terme après unu_nun​ ?

   un+1u_{n+1}un+1​

9. Quel est le terme avant unu_nun​ ?

   un−1u_{n-1}un−1​

10. Comment reconnait-on une suite géométrique ?

    quand on MULTIPLIE toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant

11. Quelle est la définition d'une suite géométrique?

    pour tout n∈Nn \in \mathbb Nn∈N , un+1=q×unu_{n+1}=q \times u_nun+1​=q×un​ où qqq est un nombre constant appelé raison

12. Comment justifier que (un)(u_n)(un​) est une suite géométrique ?

    on a un+1=q×unu_{n+1}=q \times u_nun+1​=q×un​ donc la suite (un)(u_n)(un​) est géométrique de raison qqq

13. Quelle est l'expression de unu_nun​ en fonction de nnn pour une suite géométrique?

    si le premier terme est u0u_0u0​ alors un=u0×qnu_n=u_0\times q^nun​=u0​×qn si le premier terme est u1u_1u1​ alors un=u1×qn−1u_n=u_1\times q^{n-1}un​=u1​×qn−1

14. En 2017, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un artiste était de 9000. On suppose que chaque année il obtient 30% d'abonnés supplémentaires. unu_nun​ désigne le nombre d'abonnés en 2017+n2017+n2017+n pour tout entier naturel nnn Quelle est la nature de la suite (un)(u_n)(un​) ? Justifier.

    Chaque année, le nombre d'abonnés augmente de 30% ce qui revient à multiplier par 1+30100=1,31+\frac{30}{100}=1,31+10030​=1,3 On a donc un+1=1,3unu_{n+1}=1,3u_nun+1​=1,3un​ Donc la suite (un)(u_n)(un​) est géométrique de raison 1,3

15. Pour stocker des photos numériques, on utilise un algorithme de compression. On estime qu'à chaque compression, la taille diminue de 21,4%. La taille initiale d'une photo est 4 Mo. Pour tout entier naturel nnn , TnT_nTn​ désigne la taille de cette photo après nnn compressions Quelle est la nature de la suite (Tn)(T_n)(Tn​) ? Justifier.

    A chaque compression, la taille diminue de 21,4% ce qui revient à multiplier par 1−21,4100=0,7861-\frac{21,4}{100}=0,7861−10021,4​=0,786 On a donc Tn+1=0,786Tn T_{n+1}=0,786 T_n Tn+1​=0,786Tn​ Donc la suite (Tn)(T_n)(Tn​) est géométrique de raison 0,786

16. Combien de termes comporte la somme S=up+...+unS=u_p+...+u_nS=up​+...+un​ ?

    S comporte n−p+1n-p+1n−p+1 termes

17. Combien de termes comporte la somme S=u0+u1+...+u12S=u_0+u_1+...+u_{12}S=u0​+u1​+...+u12​ ?

    S comporte 12−0+1=1312-0+1=1312−0+1=13 termes

18. Combien de termes comporte la somme S=u5+u6+...+u20S=u_5+u_6+...+u_{20}S=u5​+u6​+...+u20​ ?

    S comporte 20−5+1=1620-5+1=1620−5+1=16 termes

19. Combien vaut la somme des premières puissances de qqq , 1+q+q²+...+qn1+q+q²+...+q^n1+q+q²+...+qn ?

    1+q+q²+...+qn=1−qn+11−q1+q+q²+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}1+q+q²+...+qn=1−q1−qn+1​

20. Calculer la somme S=1+2+2²+...+211S=1+2+2²+...+2^{11}S=1+2+2²+...+211

    S est la somme des premières puissances de 2. Donc S=1−2121−2S=\frac{1-2^{12}}{1-2}S=1−21−212​ Donc S=4095S=4095S=4095

21. Quelle est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique?

    S=(premier terme)×1−qnombre de termes1−qS=(\mathrm{premier\; terme}) \times \frac{1-q^{\mathrm{nombre\; de\; termes}}}{1-q}S=(premierterme)×1−q1−qnombredetermes​ up+...+un=up×1−qn−p+11−qu_p+...+u_n=u_p \times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}up​+...+un​=up​×1−q1−qn−p+1​

22. la suite (un)(u_n)(un​) est une suite géométrique de raison −3-3−3 telle que u2=5u_2=5u2​=5 . Déterminer la somme S=u2+u3+...+u10S=u_2+u_3+...+u_{10}S=u2​+u3​+...+u10​

    S est la somme de 10−2+1=910-2+1=910−2+1=9 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison −3-3−3 en commençant à u2u_2u2​ Donc S=(premier terme)×1−qnombre de termes1−qS=(\mathrm{premier\; terme}) \times \frac{1-q^{\mathrm{nombre\; de\; termes}}}{1-q}S=(premierterme)×1−q1−qnombredetermes​ S=u2×1−q91−qS=u_2\times \frac{1-q^9}{1-q}S=u2​×1−q1−q9​ S=5×1−(−3)91+3S=5\times \frac{1-(-3)^9}{1+3}S=5×1+31−(−3)9​ ainsi S=24605S=24605S=24605