[CBPM]-TSpé-F8-Intégration

18 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

1. Combien il y a-t-il de méthodes pour calculer une intégrale ?

   2 méthodes : grâce à une primitive par intégration par parties

2. Comment calcule-t-on une intégrale grâce à une primitive ?

   ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=[F(x)]ab​=F(b)−F(a) où FFF est une primitive de fff sur [a;b][a;b][a;b]

3. Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?

   ∫u′v=[uv]−∫uv′\int u' v = [uv] - \int u v'∫u′v=[uv]−∫uv′

4. Dans une intégration par parties ∫u′v=[uv]−∫uv′\int u' v = [uv] - \int u v'∫u′v=[uv]−∫uv′ quelle est la fonction qu'on note u′u'u′ ?

   Celle que l'on devra primitiver

5. Dans une intégration par parties ∫u′v=[uv]−∫uv′\int u' v = [uv] - \int u v'∫u′v=[uv]−∫uv′ quelle est la fonction qu'on note vvv ?

   Celle que l'on devra dériver

6. Dans une intégration par parties ∫u′v=[uv]−∫uv′\int u' v = [uv] - \int u v'∫u′v=[uv]−∫uv′ Comment choisir la fonction à dériver vvv ?

   généralement on dérive les puissances xnx^nxn s'il y en a sauf s'il y a ln⁡x\ln xlnx c'est alors ln⁡x\ln xlnx que l'on dérive car on ne sait pas la primitiver

7. Comment interpréter une intégrale ?

   comme une aire

8. Toutes les intégrales peuvent-elles être interprétées comme des aires ?

   Non il faut que la fonction soit POSITIVE donc il est important de le préciser avant de dire qu'une intégrale est une aire

9. Quelle est l'interprétation de I=I=I= ∫abf(x)dx\int_a^b f(x)dx∫ab​f(x)dx si fff est positive sur [a;b][a;b][a;b] ?

   Comme fff est positive sur [a;b][a;b][a;b] Alors III est l'AIRE, en u.a., du domaine du plan limité par la courbe de fff , l'axe des abscisses et les 2 droites d'équation x=ax=ax=a et x=bx=bx=b

10. Qu'est-ce que u.a. ?

    unité d'aire C'est l'aire d'un rectangle de dimension 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 unité sur l'axe des ordonnées

11. Est-ce que 1 u.a. = 1 cm² ?

    Non cela dépend de l'unité sur chaque axe de coordonnées

12. Quelle est la conversion u.a. en cm² pour un repère qui a 2cm en unité pour l'axe des abscisses et 3 cm en unité sur l'axe des ordonnées ?

    1 u.a. = 6 cm²

13. Comment faire pour encadrer une intégrale ?

    encadrer la fonction sous l'intégrale puis appliquer la propriété de comparaison d'intégrales si f(x)≤g(x)≤h(x) f(x) \leq g(x) \leq h(x) f(x)≤g(x)≤h(x) sur [a;b][a;b][a;b] alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx≤∫abh(x)dx\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b h(x)dx∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx≤∫ab​h(x)dx

14. Comment prouver qu'un intégrale est positive ?

    montrer que la fonction sous l'intégrale est positive puis appliquer la propriété de positivité de l'intégrale si f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0 sur [a;b][a;b][a;b] alors ∫abf(x)dx≥0\int_a^b f(x)dx \geq 0∫ab​f(x)dx≥0

15. Quelles sont les propriétés de calcul sur les intégrales ?

    2 propriétés pour la somme linéarité : ∫abf(x)+g(x)dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int_a^b f(x)+g(x) dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx∫ab​f(x)+g(x)dx=∫ab​f(x)dx+∫ab​g(x)dx Chasles : ∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx\int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x)dx∫ab​f(x)dx+∫bc​f(x)dx=∫ac​f(x)dx 1 Propriété pour factoriser les coefficients multiplicateurs linéarité ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx\int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx∫ab​kf(x)dx=k∫ab​f(x)dx Propriété pour inverser les bornes ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx…

16. Quelle est la valeur moyenne d'une fonction fff sur [a;b][a;b][a;b] ?

    Vm=1b−a∫abf(x)dxV_m=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dxVm​=b−a1​∫ab​f(x)dx

17. Quelle est la seule fonction définie par une intégrale qui est à connaitre ?

    x↦∫axf(t)dtx \mapsto \int_a^x f(t)dtx↦∫ax​f(t)dt

18. Que faut-il savoir sur la fonction définie par une intégrale F:x↦∫axf(t)dtF:x \mapsto \int_a^x f(t)dtF:x↦∫ax​f(t)dt ?

    C'est LA seule primitive de fff qui s'annule en aaa Donc (∫axf(t)dt)′=f(x)( \int_a^x f(t)dt )' = f(x)(∫ax​f(t)dt)′=f(x) et ∫aaf(t)dt=0 \int_a^a f(t)dt = 0∫aa​f(t)dt=0