[CBPM]-TSpé-P4-Variables Aléatoires
16 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
Qu'est ce qu'une loi de probabilité pour une variable aléatoire X ?
C'est la donnée des valeurs prises par X, les xix_ixi et des probabilités associées pi=P(X=xi)p_i=P(X=x_i)pi=P(X=xi)
Comment fait-on pour donner une loi de probabilité pour une variable aléatoire ?
soit on donne son nom (loi Binomiale) et ses paramètres soit on fait un tableau avec 2 lignes xix_ixi et pip_ipi
Quelle est la formule pour l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi de probabilité donnée par un tableau ?
E(X)=E(X)=E(X)= ∑i=0nxipi\sum_{i=0}^{n}x_ip_i∑i=0nxipi
Quelle est la formule pour la variance d'une variable aléatoire suivant une loi de probabilité donnée par un tableau ?
V(X)=V(X)=V(X)= ∑i=0n(xi−E(X))²pi\sum_{i=0}^{n}(x_i-E(X))²p_i∑i=0n(xi−E(X))²pi ou V(X)=E(X²)−E(X)²V(X)=E(X²)-E(X)²V(X)=E(X²)−E(X)² =∑i=0nxi²pi−E(X)²=\sum_{i=0}^{n}x_i²p_i-E(X)²=∑i=0nxi²pi−E(X)²
Quelle est la formule pour l'écart-type d'une variable aléatoire ?
σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}σ(X)=V(X)
Qu'est-ce qu'un échantillon de taille 𝒏 de la loi de probabilité de X ?
Un échantillon de taille nnn de la loi de probabilité de X est une liste de 𝑛 variables aléatoires indépendantes et identiques suivant cette loi.
Quelle est la variable aléatoire somme d'un échantillon de taille 𝒏 de la loi de probabilité de X ?
Sn=X1+X2+...+XnS_n=X_1+X_2+...+X_nSn=X1+X2+...+Xn
Quelle est la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille 𝒏 de la loi de probabilité de X ?
Mn=X1+...+XnnM_n=\frac{X_1+...+X_n}{n}Mn=nX1+...+Xn
Quelles sont les propriétés de l'espérance ?
Linéarité E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b Somme E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) par linéarité somme d'un échantillon de taille nnn de la loi de X E(Sn)=nE(X)E(S_n)=nE(X)E(Sn)=nE(X) moyenne d'un échantillon de taille nnn de la loi de X E(Mn)=E(X)E(M_n)=E(X)E(Mn)=E(X)
Quelles sont les propriétés de la variance ?
V(aX+b)=a²V(X)V(aX+b)=a²V(X)V(aX+b)=a²V(X) Somme de variables INDEPENDANTES V(X1+X2)=V(X1)+V(X2)V(X_1+X_2)=V(X_1)+V(X_2)V(X1+X2)=V(X1)+V(X2) somme d'un échantillon de taille nnn de la loi de X V(Sn)=nV(X)V(S_n)=nV(X)V(Sn)=nV(X) moyenne d'un échantillon de taille nnn de la loi de X V(Mn)=V(X)nV(M_n)=\frac{V(X)}{n}V(Mn)=nV(X)
Quelle est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et pour quelle variable aléatoire s'applique-t-elle ?
pour tout 0"> δ>0\delta >0δ>0 , 𝑷(∣𝑿−𝑬(𝑿)∣≥δ)≤𝑽(𝑿)δ𝟐𝑷(|𝑿−𝑬(𝑿)| \geq \delta) \leq \frac{𝑽(𝑿)}{\delta^𝟐}P(∣X−E(X)∣≥δ)≤δ2V(X) elle s'applique pour n'importe quelle variable aléatoire X
Quelle est l'inégalité de concentration et pour quelle variable aléatoire s'applique-t-elle ?
pour tout 0"> δ>0\delta >0δ>0 , P(∣Mn−E(X)∣≥δ)≤V(X)nδ𝟐P(|M_n−E(X)| \geq \delta) ≤ \frac{V(X)}{n \delta^𝟐}P(∣Mn−E(X)∣≥δ)≤nδ2V(X) elle s'applique pour une variable aléatoire MnM_nMn moyenne d'un échantillon de taille nnn de la loi de X
Quelle est la loi des grands nombres ?
pour tout 0"> δ>0\delta >0δ>0 limn→+∞P(∣Mn−E(X)∣≥δ)=0\lim\limits_{n\to +\infty}P(|M_n−E(X)|\ge \delta)=0n→+∞limP(∣Mn−E(X)∣≥δ)=0
Quelle est l'interprétation de la loi des grands nombres limn→+∞P(∣Mn−E(X)∣≥δ)=0\lim\limits_{n\to +\infty}P(|M_n−E(X)|\ge \delta)=0n→+∞limP(∣Mn−E(X)∣≥δ)=0 ?
Plus la taille de l’échantillon est grande, plus l’écart entre MnM_nMn (moyenne réelle) et E(X)E(X)E(X) (moyenne théorique) est faible.
Que peut-on utiliser pour trouver la taille minimale d'un échantillon vérifiant une condition donnée sur une probabilité ?
l'inégalité de la concentration
Pour trouver la taille minimale d'un échantillon vérifiant une condition donnée sur une probabilité, que faut-il faire de la probabilité donnée ?
la transformer en P(∣Mn−E(X)∣≥δ)P(|M_n-E(X)|\geq \delta)P(∣Mn−E(X)∣≥δ) ≤\leq≤ ppp il suffit de prendre nnn tel que V(X)nδ2≤\frac{V(X)}{n \delta^2} \leq nδ2V(X)≤ ppp soit n≥V(X)pδ2n \geq \frac{V(X)}{p \delta^2}n≥pδ2V(X)