EGZ-LIC MIMUW RPIS
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
46 flashcards · Computer Science · by Wojciech Rzepliński
Wzór na prawdopobieństwo warunkowe
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A\cap B)} {P(B)}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)
Wzór iloczynowy, iloczyn zmiennych losowych za pomocą prawdopodobieństw warunkowych
P(A1∩A2∩⋯∩An)=P(A1)P(A2∣A1)…P(An∣A1∩A2∩⋯∩An−1)P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) P(A_2|A_1) \dots P(A_n | A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_{n-1})P(A1∩A2∩⋯∩An)=P(A1)P(A2∣A1)…P(An∣A1∩A2∩⋯∩An−1)
Wzór Bayesa
Wzór na prawd. całkowite, mając rozłączne zdarzenia A1∪A2∪⋯=Ω A_1 \cup A_2 \cup \cdots = \OmegaA1∪A2∪⋯=Ω
P(B)=∑k=1∞P(Ak)P(B∣Ak)P(B) = \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}} P(A_k)P(B|A_k)P(B)=k=1∑∞P(Ak)P(B∣Ak)
Niezależność zdażeń wzór za pomocą warunkowego
P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A)P(A∣B)=P(A)
Niezależność zdażeń za pomocą iloczynu zdarzeń
P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B) = P(A) P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)
Czy jeśli zdarzenia są niezależne to ich dopełnienia również?
Tak
Niezależność wielu zdarzeń, wzór
Czy jeśli zdarzenia są niezerowa, a ich iloczyn tych zdarzeń jest zerowy, to czy sa one niezależne?
Nie, ponieważ nie jest spełniony wzór 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
Czym jest rozkład Bernulliego?
Zmienna X ma rozkład Bernoulliego jeśli przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1. Prawdopodobieństwa tych wartości oznacza się zwyczajowo: p=P(X=1) oraz q=P(X=0). Wartość 1 nazywa się często sukcesem, a wartość 0 porażką.
Kiedy zmienne losowe są niezależne?
Zmienny losowe X i Y są niezależne gdy dla każdego zbioru A,B⊆RA, B \subseteq \mathbb{R}A,B⊆R zachodzi P(X∈A∧Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)P(X \in A \land Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)P(X∈A∧Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)
Czym jest rozkład jednostajny?
przedział [a, b] (dyskretny), prawdopodobieństwo każdej liczby z tego przedziału to 1b−a+1\frac{1}{b-a+1}b−a+11
Czym jest rozkład dwumianowy? Podaj wzór, wartość oczekiwaną, wariancję
Binom(n,p)Binom(n, p)Binom(n,p) -rzucamy monetą n razy (prawdopodobieństwo orła to p) i liczymy liczbę orłów. P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k Wartość oczekiwana: npnpnp Wariancja np(1−p)np(1-p)np(1−p)
Czym jest rozkład geometryczny? Podaj wzór, wartość oczekiwaną, wariancję
Geom(p)Geom(p)Geom(p) - rzucamy monetą, aż wypadnie orzeł (z prawdopodobieństwem p). X oznacza liczbę rzutów: P(X=k)=p(1−p)k−1P(X = k) = p(1-p)^{k-1} P(X=k)=p(1−p)k−1 Wartość oczekiwana 1p\frac{1}{p}p1 Wariancja 1−pp2\frac{1-p}{p^2}p21−p
Czym jest rozkład Poissona? Podaj wzór, wartość oczekiwaną, wariancję
Pois(λ)Pois(\lambda)Pois(λ) średnio dostajemy λ\lambdaλ informacji o awarii komputera na miesiąc. Niech XXX będzie liczbą takich informacji w konkretnym miesiącu Pois(λ)=limn→∞Binom(n,λn)=e−λλkk!Pois(\lambda) = \lim_{n \to \infty} Binom(n, \frac{\lambda}{n}) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}Pois(λ)=limn→∞Binom(n,nλ)=k!e−λλk Wartość oczekiwana: λ\lambdaλ Wariancja λ\lambdaλ
Wzór na wartość oczekiwaną dyskretną
E(X)=∑x∈RxP(X=x)E(X) = \sum_{x \in \mathbb{R}} xP(X = x)E(X)=∑x∈RxP(X=x) lub wzór z nierównościami E(X)=∑i≥1P(X≥i)E(X) = \sum_{i ≥1}P(X ≥i)E(X)=∑i≥1P(X≥i)
Wzór na wartość oczekiwaną z f(X)f(X)f(X)
Ef(X)=∑x∈RP(X=x)f(x)Ef(X) = \sum_{x \in \mathbb{R}} P(X = x)f(x)Ef(X)=∑x∈RP(X=x)f(x)
Kiedy liniowość wartości oczekiwanej?
E(cX)=cE(X), E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(cX) = cE(X), \ E(X + Y) = E(X) + E(Y)E(cX)=cE(X), E(X+Y)=E(X)+E(Y) zachodzi zawsze!
Wzór na warunkową wartość oczekiwaną
E(X∣A)=∑x∈RxP((X∣A)=x)=∑x∈RxP(X=x∣A)E(X|A) = \sum_{x \in \mathbb{R}} xP((X|A) = x) = \sum_{x\in \mathbb{R}}xP(X = x|A)E(X∣A)=∑x∈RxP((X∣A)=x)=∑x∈RxP(X=x∣A)
Wzór na podział wartości oczekiwanej na warunkowe
A1,A2,⋯A_1, A_2, \cdotsA1,A2,⋯ będzie podziałem Ω\OmegaΩ , EX=∑k=1∞P(Ak)E(X∣Ak)EX = \sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)E(X|A_k)EX=∑k=1∞P(Ak)E(X∣Ak)
Czym jest k-ty moment?
E(Xk)E(X^k)E(Xk)
Czym jest k-ty moment centralny?
E((X−E(X))k)E( (X - E(X) ) ^ k)E((X−E(X))k)
Jak nazywa się pierwszy moment?
Jest to wartość oczekiwana E(X1)=E(X)E(X^1) = E(X)E(X1)=E(X)
Jak nazywa się drugi moment centralny?
Jest to wariancja E((X−E(X))2)E((X- E(X))^2 )E((X−E(X))2)
Ile wynosi pierwszy moment centralny?
Zero, ponieważ E(X−E(X))=E(X)−E(X)=0E( X - E(X)) = E(X) - E(X) = 0E(X−E(X))=E(X)−E(X)=0
Podaj dwa wzory na wariancję? Podaj wzór na odchylenie standardowe
VarX=E(X−EX)2=E(X2)−(EX)2Var X = E(X - EX)^2 = E(X^2) - (EX)^2VarX=E(X−EX)2=E(X2)−(EX)2 σ(X)=VarX\sigma(X) = \sqrt{Var X}σ(X)=VarX
Ile wynosi wariancja sumy dwóch zmiennych losowych?
Var(X+Y)=VarX+VarY+2Cov(X,Y)Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2 Cov(X,Y)Var(X+Y)=VarX+VarY+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(X−E(X))E(Y−E(Y))Cov(X,Y) = E(X - E(X) ) E(Y - E(Y))Cov(X,Y)=E(X−E(X))E(Y−E(Y)) Kowariancja jest równa zero dla niezależnych
Czy dodanie stałej do wyniku zmiennej losowej zmienia wariancję?
Var(X+a)=Var(X)Var(X + a) = Var(X)Var(X+a)=Var(X) Nie zmienia
Wzór na pomnożenie wariancji oraz odchylenia standardowego przez stałą
Var(cX)=c2Var(X)Var(cX) = c^2Var(X)Var(cX)=c2Var(X) σ(cX)=∣c∣σ(X)\sigma(cX) = |c|\sigma(X)σ(cX)=∣c∣σ(X)
Czym jest funkcja tworząca prawd.? Podaj dwa wzory, jeden przez wartość oczekiwaną a drugi jako suma
gX(t)=∑k=0∞P(X=k)tkg_{X}(t) = \sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)t^kgX(t)=∑k=0∞P(X=k)tk gX(t)=E(tX)g_X(t) = E(t^X)gX(t)=E(tX)
Kiedy funkcja tworząca jest zbieżna?
Conajmniej dla [−1,1][-1,1][−1,1] . Na granicy nie wiemy czy tak, czy nie, dlatego przy wszystkich definicjach gdzie liczymy wartość f. tworzącej w 111 bierzemy: limt→1−gX(t)\lim_{t \to 1^-} g_X(t)limt→1−gX(t)
Wartość oczekiwana za pomocą funkcji tworzącej
gX′(1)=EXg'_X(1) = EXgX′(1)=EX (prawie prawda), najpierw E(X)E(X) E(X) musi istnieć. Prawda: limt→1−gX′(t)=EX\lim_{t \to 1^-} g'_X(t) = EXlimt→1−gX′(t)=EX
Ile wynosi gX(0)g_X(0)gX(0) oraz gX(1)g_X(1)gX(1) , gdzie g to funkcja tworząca?
Wynosi p0p_0p0 (prawd. wylosowania zera) oraz 1 (suma wszystkich prawd.)
Wartość oczekiwana wariancji za pomocą f. tworzących?
gX′′(1)+gX′(1)=E(X2)g_X''(1) + g_X'(1) = E(X^2)gX′′(1)+gX′(1)=E(X2) Var(X)=limt→1−(gX′(t)+gX′′(t)−(gX′(t))2)Var(X) = \lim_{t→1^-}(g'_X(t) +g''_X(t) - (g'_X(t))^2)Var(X)=limt→1−(gX′(t)+gX′′(t)−(gX′(t))2)
Ile wynosi gX′′(1)?g_X''(1)?gX′′(1)?
Wynosi E(X(X−1))E(X(X-1))E(X(X−1))
F. tworząca sumy zmiennych losowych za pomocą f. tworzących tych zmiennych
gX+Y(t)=gX(t)gY(t)g_{X+Y}(t) = g_X(t)g_Y(t)gX+Y(t)=gX(t)gY(t)
F. tworząca rozkładu Bernoulliego
gX(t)=(q+pt)ng_X(t) = (q + pt) ^ ngX(t)=(q+pt)n q=1−pq = 1 - pq=1−p
Niech N,X1,X2,X3,...N, X_1, X_2, X_3, ...N,X1,X2,X3,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach naturalnych. Ponadto, niech wszystkie XiX_iXi mają ten sam rozkład. Wtedy jak opisać S=X1+…+XNS=X_1+…+X_NS=X1+…+XN za pomocą f. tworzących N i S?
gS(t)=gN(gX(t))g_S(t) = g_N (g_X(t))gS(t)=gN(gX(t))
Nierówność Markowa
P(X≥c)≤EXcP(X \geq c) \leq \frac{EX}{c}P(X≥c)≤cEX Musi być X nieujemne Czyli żeby działało trzeba zrobić nieujemne
Nierówność Czebyszewa
P(∣X−EX∣≥c)≤VarXc2P(|X - EX| ≥ c) ≤ \frac{Var X}{c^2}P(∣X−EX∣≥c)≤c2VarX
Nierówność Chernoffa
P(X≥c)=P(f(X)≥f(c))≤Ef(X)f(c)P(X ≥ c) = P(f(X) ≥ f(c)) ≤ \frac{E f(X)}{f(c)}P(X≥c)=P(f(X)≥f(c))≤f(c)Ef(X) f musi być nieujemna i rosnąca
Podaj wzór na prawd. w rozkłądzie ciągłym
P(X∈[a,b])=∫abfX(x)dxP(X \in [a, b]) = \int_a^b f_X(x) dxP(X∈[a,b])=∫abfX(x)dx
Dystrybuanta (CDF - Cumulative Density Function) - w rozkładzie ciągłym
FX(t)=P(X≤t)=∫−∞tfX(x)dxF_X(t) = P(X \leq t) = \int_{-\infty}^t f_X(x) dx FX(t)=P(X≤t)=∫−∞tfX(x)dx
Rozkład jednostajny ciągły. Wzór, dystrybuanta, wartość oczekiwana i wariancja
fX(x)=1b−af_X(x) = \frac{1}{b-a}fX(x)=b−a1 FX(x)=x−ab−aF_X(x) = \frac{x-a}{b-a}FX(x)=b−ax−a wartość oczekiwana b+a2\frac{b+a}{2}2b+a wariancja (b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}12(b−a)2
Rozkład wykładniczy. Wzór, dystrybuanta, wartość oczekiwana i wariancja
fX(x)=θe−θxf_X(x) = \theta e^{-\theta x}fX(x)=θe−θx FX(x)=∫0xθe−θtdt=1−e−θxF_X(x) = \int_{0}^x \theta e^{-\theta t} dt = 1 - e^{-\theta x}FX(x)=∫0xθe−θtdt=1−e−θx dla x≥0x \ge 0x≥0 w przeciwnym wypadku FX(x)=0F_X(x) = 0FX(x)=0 Wartość oczekiwana 1θ\frac{1}{\theta}θ1 Wariancja 1θ2\frac{1}{\theta^2}θ21
Rozkład normalny, wzór, wartość oczekiwana, wariancja
fX(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}fX(x)=σ2π 1e−2σ2(x−μ)2 Wartość oczekiwana μ\muμ Wariancja σ2\sigma^2σ2