EGZ-LIC MIMUW GAL

27 flashcards · Computer Science · by Wojciech Rzepliński

1. Liczba rozwiązań układu równań (tw. Kroneckera-Capelliego)

2. Układ równań oznaczony, sprzeczny, niesprzeczny

   niesprzeczny, jeżeli istnieje wektor, który spełnia równanie sprzeczny, jeżeli dla każdego wektora rozwiązań równanie jest niespełnione oznaczony, jeżeli istnieje dokładnie jedno rozwiązanie

3. Czym jest baza dualna do bazy

4. Czym jest grupa

   Trójka uporządkowana ⟨G,⋅,e⟩\langle G, \cdot, e \rangle⟨G,⋅,e⟩ t.że x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅zx \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot zx⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅z (operator ⋅\cdot⋅ jest łączny) e⋅x=x⋅e=xe \cdot x = x \cdot e = xe⋅x=x⋅e=x ( eee to el. neutralny) x⋅y=ex \cdot y = ex⋅y=e (dla każdego xxx istn. el. odwrotny)

5. Grupa abelowa

   Grupa z dodatkowym warunkiem przemienności (abelowości): x⋅y=y⋅xx \cdot y = y \cdot xx⋅y=y⋅x

6. Ciało

   To ⟨X,+,⋅,0,1⟩\langle X, +, \cdot, 0, 1 \rangle⟨X,+,⋅,0,1⟩ takie, że ⟨X,+,0⟩\langle X, +, 0 \rangle⟨X,+,0⟩ jest grupą abelową Operacja ⋅\cdot⋅ jest przemienna i łączna ⟨X−{0},⋅,1⟩\langle X - \{0\}, \cdot, 1 \rangle⟨X−{0},⋅,1⟩ jest grupą abelową Op. ⋅\cdot⋅ jest rozdzielna względem +++

7. Zasadnicze twierdzenie algebry i wniosek z niego

   Każdy wielomian zespolony stopnia co najmniej 111 ma pierwiastek zespolony Wniosek: każdy taki wielomian stopnia nnn ma dokładnie nnn pierwiastków zespolonych (niekoniecznie różnych)

8. Jak z tymi pierwiastkami wielomianu przy sprzężeniu

   p(z0)=0⇒p(z0ˉ)=0p(z_0) = 0 \Rightarrow p(\bar{z_0}) = 0p(z0​)=0⇒p(z0​ˉ​)=0

9. Przestrzeń liniowa

   1⋅x=x1 \cdot x = x1⋅x=x (α+β)⋅x=α⋅x+β⋅x(\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x(α+β)⋅x=α⋅x+β⋅x α⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y\alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot yα⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y (α⋅β)⋅x=α⋅(β⋅x)(\alpha \cdot \beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x)(α⋅β)⋅x=α⋅(β⋅x) 0x=00x = 00x=0 (czyli też zawsze 0∈X0 \in X0∈X ) (−1)⋅x=−x(-1) \cdot x = -x(−1)⋅x=−x αx=0⇔α=0 lub x=0\alpha x = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0 \text{ lub } x = 0αx=0⇔α=0 lub x=0

10. Obraz macierzy A∈Km,nA \in \mathbb{K}^{m,n}A∈Km,n

    imA={Ax∈Km:x∈Kn}\mathrm{im} A = \{ A x \in \mathbb{K}^m : x \in \mathbb{K}^n \}imA={Ax∈Km:x∈Kn}

11. Jądro macierzy AAA

    kerA={x∈Kn:Ax=0}\mathrm{ker} A = \{ x \in \mathbb{K}^n : A x = 0\}kerA={x∈Kn:Ax=0}

12. Twierdzenie o wymiarze obrazu i jadra

    dim im A+dim ker A=n\mathrm{dim}\;\mathrm{im}\;A + \mathrm{dim}\;\mathrm{ker}\;A = ndimimA+dimkerA=n

13. Rząd macierzy A∈Km,nA \in \mathbb{K}^{m,n}A∈Km,n

    rank A=dim im A\mathrm{rank}\;A = \mathrm{dim}\;\mathrm{im}\;ArankA=dimimA

14. Twierdzenie na rzędy przekształceń macierzy AAA

    rank A=rank AH=rank AT\mathrm{rank}\;A = \mathrm{rank}\;A^H = \mathrm{rank}\;A^T rankA=rankAH=rankAT

15. Lemat o przecięciu czegoś z AAA i czegoś z AHA^HAH

    ker A∩im AH={0}\mathrm{ker}\;A \cap \mathrm{im}\;A^H = \{0\}kerA∩imAH={0}

16. Wyznacznik dla 2x2

    det⁡A=ad−bc\det A = ad - bcdetA=ad−bc

17. Wyznacznik dla diagonalnej/trójkątnej górnej

    det⁡nA=∏i=1nai,i\det_n A = \prod_{i=1}^n a_{i,i}detn​A=∏i=1n​ai,i​

18. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze macierzy, to jej wyznacznik zmieni znak

19. Jeśli macierz ma dwa identyczne wiersze, to det⁡nA=0\det_n A = 0detn​A=0

    Czyli jeśli jest osobliwa

20. Zależność między wyznacznikiem AAA a transpozycji AAA

    det⁡nA=det⁡n(AT)\det_n A = \det_n (A^T)detn​A=detn​(AT)

21. Tw. Cauchy'ego o wyznaczniku

    det⁡n(AB)=det⁡nA⋅det⁡nB\det_n(AB) = \det_n A \cdot \det_n Bdetn​(AB)=detn​A⋅detn​B

22. Jeśli macierz AAA jest nieosobliwa, to det⁡n(A−1)=\det_n (A^{-1}) =detn​(A−1)= (det⁡nA)−1(\det_n A)^{-1}(detn​A)−1

23. Iloczyn skalarny, własności

    ⟨x,α1y1+α2y2⟩=α1⟨x,y1⟩+α2⟨x,y2⟩\langle x, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 \rangle = \alpha_1 \langle x, y_1 \rangle + \alpha_2 \langle x, y_2 \rangle⟨x,α1​y1​+α2​y2​⟩=α1​⟨x,y1​⟩+α2​⟨x,y2​⟩ ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩ˉ\langle x, y \rangle = \bar{\langle y, x \rangle}⟨x,y⟩=⟨y,x⟩ˉ​ ( ←\leftarrow← ale bieda daszek) dla każdego x∈X−{0}x \in X - \{0\}x∈X−{0} 0"> ⟨x,x⟩>0\langle x, x \rangle > 0⟨x,x⟩>0

24. Norma na przestrzeni z iloczynem skalarnym

    ∥x∥=⟨x,x⟩\| x \| = \sqrt{\langle x,x \rangle}∥x∥=⟨x,x⟩ ​

25. Nierówność Schwarza

    ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥⋅∥y∥| \langle x, y \rangle | \le \| x \| \cdot \| y \|∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥⋅∥y∥

26. Podstawowe własności normy

    ∥x∥=0\| x \| = 0∥x∥=0 wtw. x=0x = 0x=0 ∥αx∥=∣α∣⋅∥x∥\| \alpha x \| = |\alpha| \cdot \| x \|∥αx∥=∣α∣⋅∥x∥ ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\| x + y \| \le \| x \| + \| y \|∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥

27. Prostopadłość wektorów

    x,yx, yx,y prostopadłe wtw. ⟨x,y⟩=0\langle x , y \rangle = 0⟨x,y⟩=0