[BTSCG1] S2 Suites arithmétiques

10 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

1. Comment reconnait-on une suite arithmétique ?

   quand on AJOUTE toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant

2. Quelle est la définition d'une suite arithmétique?

   pour tout n∈N,un+1=un+rn \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+rn∈N,un+1​=un​+r où rrr est un nombre constant appelé raison

3. Comment justifier que (un)(u_n)(un​) est une suite arithmétique ?

   on a un+1=un+ru_{n+1}=u_n +run+1​=un​+r donc la suite (un)(u_n)(un​) est arithmétique de raison rrr

4. Quelle est l'expression de unu_nun​ en fonction de nnn pour une suite arithmétique?

   si le premier terme est u0u_0u0​ alors un=u0+nru_n=u_0+nrun​=u0​+nr si le premier terme est u1u_1u1​ alors un=u1+(n−1)ru_n=u_1+(n-1)run​=u1​+(n−1)r

5. En 2017, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un artiste était de 9000. On suppose que chaque année il obtient 1500 abonnés supplémentaires. unu_nun​ désigne le nombre d'abonnés en 2017+n2017+n2017+n pour tout entier naturel nnn Quelle est la nature de la suite (un)(u_n)(un​) ? Justifier.

   Comme chaque année le nombre d'abonnés augmente de 1500 abonnés. On a donc un+1=un+1500u_{n+1}=u_n+1500un+1​=un​+1500 Donc la suite (un)(u_n)(un​) est arithmétique de raison 1500

6. Quelle est la somme des premiers entiers de 1 à nnn ?

   1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}1+2+...+n=2n(n+1)​

7. Calculer la somme S=1+2+...+2019+2020S=1+2+...+2019+2020S=1+2+...+2019+2020

   SSS est la somme des entiers de 1 à 2020 Donc S=2020×20212S=\frac{2020\times 2021}{2}S=22020×2021​ Donc S=2 041 210

8. Quelle est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique?

   S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\mathrm{nombre\; de\; termes}) \times \frac{\mathrm{(premier\: terme\: +\: dernier\: terme)}}{2}S=(nombredetermes)×2(premierterme+dernierterme)​ up+up+1+...+un=(n−p+1)×up+un2u_p+u_{p+1}+...+u_n=(n-p+1)\times \frac{u_p+u_n}{2}up​+up+1​+...+un​=(n−p+1)×2up​+un​​

9. la suite (un)(u_n)(un​) est une suite arithmétique de raison −3-3−3 telle que u2=28u_2=28u2​=28 . Déterminer la somme S=u2+u3+...+u20S=u_2+u_3+...+u_{20}S=u2​+u3​+...+u20​

   S est la somme de 20−2+1=1920-2+1=1920−2+1=19 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison −3-3−3 Donc S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\mathrm{nombre\; de\; termes}) \times \frac{\mathrm{(premier\: terme\: +\: dernier\: terme)}}{2}S=(nombredetermes)×2(premierterme+dernierterme)​ S=19×u2+u202S=19\times \frac{u_2+u_{20}}{2}S=19×2u2​+u20​​ Or un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run​=up​+(n−p)r u20=u2+(20−2)×(−3)u_{20}=u_2+(20-2) \times(-3)u20​=u2​+(20−2)×(−3) u20=28+18×(−3)u_…

10. Calculer la somme S=347+348+...+2019+2020S=347+348+...+2019+2020S=347+348+...+2019+2020

    S est la somme des 2020−347+1=16742020-347+1=16742020−347+1=1674 termes d'une suite arithmétique de raison 1. Donc S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\mathrm{nombre\; de\; termes}) \times \frac{\mathrm{(premier\: terme\: +\: dernier\: terme)}}{2}S=(nombredetermes)×2(premierterme+dernierterme)​ S=1674×347+20202S=1674 \times \frac{347+2020}{2}S=1674×2347+2020​ S=1981179S=1981179S=1981179