Calculus I - Antiderivatives of common functions

24 flashcards · Mathematics · by luckydog789 (harrison holbrook)

1. ∫x−1dx\int x^{-1}dx∫x−1dx

   ∫x−1dx=∫1xdx=ln⁡(∣x∣)+C\int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln(|x|)+C∫x−1dx=∫x1​dx=ln(∣x∣)+C

2. ∫exdx\int e^xdx∫exdx

   ∫exdx=ex+C\int e^xdx=e^x+C∫exdx=ex+C

3. ∫cos⁡(x)dx\int \cos(x)dx∫cos(x)dx

   ∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C\int \cos(x)dx=\sin(x) + C∫cos(x)dx=sin(x)+C

4. ∫sin⁡(x)dx\int \sin(x)dx∫sin(x)dx

   ∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x)dx=-\cos(x) + C∫sin(x)dx=−cos(x)+C

5. ∫sec⁡2(x)dx\int \sec^2(x)dx∫sec2(x)dx

   ∫sec⁡2(x)dx=tan⁡(x)+C\int \sec^2(x)dx=\tan(x)+C∫sec2(x)dx=tan(x)+C

6. ∫csc⁡2(x)dx\int \csc^2(x)dx∫csc2(x)dx

   ∫csc⁡2(x)dx=−cot⁡(x)+C\int \csc^2(x)dx=-\cot(x)+C∫csc2(x)dx=−cot(x)+C

7. ∫sec⁡(x)tan⁡(x)dx\int \sec(x)\tan(x)dx∫sec(x)tan(x)dx

   ∫sec⁡(x)tan⁡(x)dx=sec⁡(x)+C\int \sec(x)\tan(x)dx=\sec(x)+C∫sec(x)tan(x)dx=sec(x)+C

8. ∫csc⁡(x)cot⁡(x)dx\int \csc(x)\cot(x)dx∫csc(x)cot(x)dx

   ∫csc⁡(x)cot⁡(x)dx=−csc⁡(x)+C\int \csc(x)\cot(x)dx=-\csc(x)+C∫csc(x)cot(x)dx=−csc(x)+C

9. ∫11−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx∫1−x2 ​1​dx

   ∫11−x2dx=sin⁡−1(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}(x)+C∫1−x2 ​1​dx=sin−1(x)+C

10. ∫11+x2dx\int \frac{1}{1+x^2}dx∫1+x21​dx

    ∫11+x2dx=tan⁡−1(x)+C\int \frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}(x)+C∫1+x21​dx=tan−1(x)+C

11. ∫1xx2−1dx\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx∫xx2−1 ​1​dx

    ∫1xx2−1dx=sec⁡−1(∣x∣)+C\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\sec^{-1}(|x|)+C∫xx2−1 ​1​dx=sec−1(∣x∣)+C

12. ∫cos⁡(ax)dx\int \cos(ax)dx∫cos(ax)dx

    ∫cos⁡(ax)dx=1asin⁡(ax)+C\int \cos(ax)dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C∫cos(ax)dx=a1​sin(ax)+C

13. ∫sin⁡(ax)dx\int \sin(ax)dx∫sin(ax)dx

    ∫sin⁡(ax)dx=−1acos⁡(ax)+C\int \sin(ax)dx=-\frac{1}{a}\cos(ax)+C∫sin(ax)dx=−a1​cos(ax)+C

14. ∫sec⁡2(ax)dx\int \sec^2(ax)dx∫sec2(ax)dx

    ∫sec⁡2(ax)dx=1atan⁡(ax)+C\int \sec^2(ax)dx=\frac{1}{a}\tan(ax)+C∫sec2(ax)dx=a1​tan(ax)+C

15. ∫csc⁡2(ax)dx\int \csc^2(ax)dx∫csc2(ax)dx

    ∫csc⁡2(ax)dx=−1acot⁡(ax)+C\int \csc^2(ax)dx=-\frac{1}{a}\cot(ax)+C∫csc2(ax)dx=−a1​cot(ax)+C

16. ∫sec⁡(ax)tan⁡(ax)dx\int \sec(ax)\tan(ax)dx∫sec(ax)tan(ax)dx

    ∫sec⁡(ax)tan⁡(ax)dx=1asec⁡(ax)+C\int \sec(ax)\tan(ax)dx=\frac{1}{a}\sec(ax)+C∫sec(ax)tan(ax)dx=a1​sec(ax)+C

17. ∫csc⁡(ax)cot⁡(ax)dx\int \csc(ax)\cot(ax)dx∫csc(ax)cot(ax)dx

    ∫csc⁡(ax)cot⁡(ax)dx=−1acsc⁡(ax)+C\int \csc(ax)\cot(ax)dx=-\frac{1}{a}\csc(ax)+C∫csc(ax)cot(ax)dx=−a1​csc(ax)+C

18. ∫eaxdx\int e^{ax}dx∫eaxdx

    ∫eaxdx=1aeax+C\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C∫eaxdx=a1​eax+C

19. ∫bxdx\int b^xdx∫bxdx

    0 \text{ }\wedge\text{ }b\neq1"> ∫bxdx=1ln⁡(b)bx+C,b>0 ∧ b≠1\int b^xdx=\frac{1}{\ln(b)}b^x+C,b>0 \text{ }\wedge\text{ }b\neq1∫bxdx=ln(b)1​bx+C,b>0 ∧ b=1

20. ∫1a2+x2dx\int \frac{1}{a^2+x^2}dx∫a2+x21​dx

    ∫1a2+x2dx=1atan⁡−1(xa)+C\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a})+C∫a2+x21​dx=a1​tan−1(ax​)+C

21. ∫1a2−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx∫a2−x2 ​1​dx

    0"> ∫1a2−x2dx=sin⁡−1(xa)+C,a>0\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}(\frac{x}{a})+C,a>0∫a2−x2 ​1​dx=sin−1(ax​)+C,a>0

22. ∫1xx2−a2dx\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx∫xx2−a2 ​1​dx

    0"> ∫1xx2−a2=1asec⁡−1(∣xa∣)+C,a>0\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\sec^{-1}(|\frac{x}{a}|)+C,a>0∫xx2−a2 ​1​=a1​sec−1(∣ax​∣)+C,a>0

23. ∫dx\int dx∫dx

    ∫dx=x+C\int dx=x+C∫dx=x+C

24. ∫f−1(x)dx\int f^{-1}(x)dx∫f−1(x)dx

    ∫f−1(x)dx=xf−1(x)−F(f−1(x))+C\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C∫f−1(x)dx=xf−1(x)−F(f−1(x))+C