TSpé - à dégager ?

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1. Quelle est la dérivée de la fonction ln⁡\lnln ?

   (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}(lnx)′=x1​

2. Quelle est la dérivée de la composée f=f=f= g(ax+b)g(ax+b)g(ax+b) ?

   f′=f'=f′= g′(ax+b)×ag'(ax+b) \times ag′(ax+b)×a =ag′(ax+b)=ag'(ax+b)=ag′(ax+b)

3. Quelle est la dérivée de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= ex4e^{x^4}ex4 ?

   f′(x)=4x3ex4f'(x)=4x^3 e^{x^4}f′(x)=4x3ex4 on a utilisé la formule (eu)′=u′eu(e^u)'=u' e^u(eu)′=u′eu avec u(x)=x4u(x)=x^4u(x)=x4 donc u′(x)=4x3u'(x)=4x^3u′(x)=4x3

4. Quelle est la dérivée de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= (4x−1)3(4x-1)^3(4x−1)3 ?

   f′(x)=f'(x)=f′(x)= 3(4x−1)²×43(4x-1)² \times 43(4x−1)²×4 f′(x)=f'(x)=f′(x)= 12(4x−1)²12 (4x-1)²12(4x−1)² on a utilisé la formule (un)′=nun−1×u′(u^n)'=nu^{n-1} \times u'(un)′=nun−1×u′ avec n=3n=3n=3 et u(x)=4x−1u(x)=4x-1u(x)=4x−1 donc u′(x)=4u'(x)=4u′(x)=4

5. Quelle est la dérivée de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= 5−6x\sqrt{5-6x}5−6x ​ ?

   f′(x)f'(x)f′(x) =−625−6x=\frac{-6}{2\sqrt {5-6x}}=25−6x ​−6​ f′(x)=−35−6xf'(x)=-\frac{3}{\sqrt{5-6x}}f′(x)=−5−6x ​3​ on a utilisé la formule (u)′=u′2u(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}(u ​)′=2u ​u′​ avec u(x)=5−6xu(x)=5-6xu(x)=5−6x Donc u′(x)=−6u'(x)=-6u′(x)=−6

6. Quelle est la dérivée de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= (x²−3)5(x²-3)^5(x²−3)5 ?

   f′(x)=f'(x)=f′(x)= 5(x²−3)4×(2x)5(x²-3)^4 \times (2x)5(x²−3)4×(2x) f′(x)=f'(x)=f′(x)= 10x(x²−3)410x (x²-3)^410x(x²−3)4 on a utilisé la formule (un)′=nun−1×u′(u^n)'=nu^{n-1} \times u'(un)′=nun−1×u′ avec n=5n=5n=5 et u(x)=x²−3u(x)=x²-3u(x)=x²−3 donc u′(x)=2xu'(x)=2xu′(x)=2x

7. Quelle est la dérivée de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= e1−3xe^{1-3x}e1−3x ?

   f′(x)=f'(x)=f′(x)= −3e1−3x-3 e^{1-3x}−3e1−3x on a utilisé la formule (eu)′=u′eu(e^u)'=u' e^u(eu)′=u′eu avec u(x)=u(x)=u(x)= 1−3x1-3x1−3x donc u′(x)=u'(x)=u′(x)= −3-3−3

8. Quelle est la dérivée de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= ln⁡(4x²−5x+1)\ln {(4x²-5x+1)}ln(4x²−5x+1) ?

   f′(x)f'(x)f′(x) === 8x−54x²−5x+1\frac{8x-5}{4x²-5x+1}4x²−5x+18x−5​ on a utilisé la formule (ln⁡u)′=u′u( \ln u)' = \frac{u'}{u}(lnu)′=uu′​ avec u(x)=4x²−5x+1u(x)=4x²-5x+1u(x)=4x²−5x+1 donc u′(x)=4×2x−5=8x−5u'(x)=4 \times 2x -5=8x-5u′(x)=4×2x−5=8x−5

9. Quelle est la dérivée de la fonction composée ln⁡u\ln ulnu ?

   (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}(lnu)′=uu′​