Taylor series

8 flashcards · Mathematics · by Athena Papkouf

1. exe^{x}ex

   ∑k=0∞xkk!=1+x+x22!+x33!+x44!+… pour tout x∈R\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots \text { pour tout } x \in \mathbb{R}∑k=0∞​k!xk​=1+x+2!x2​+3!x3​+4!x4​+… pour tout x∈R

2. log⁡(x)\log (x)log(x)

   ∑k=1∞(−1)k+1k(x−1)k\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(x-1)^{k}∑k=1∞​k(−1)k+1​(x−1)k

3. log⁡(1+x)\log (1+x)log(1+x)

   ∑k=1∞(−1)k+1kxk=x−x22+x33−x44+…\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\ldots∑k=1∞​k(−1)k+1​xk=x−2x2​+3x3​−4x4​+… pour tout x∈]−1,1]\text { pour tout } x \in]-1,1] pour tout x∈]−1,1]

4. 11−x\frac{1}{1-x}1−x1​

   ∑k=0∞xk=1+x+x2+x3+x4+… pour tout x∈]−1,[1\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots \text { pour tout } \left.x \in\right]-1,[1∑k=0∞​xk=1+x+x2+x3+x4+… pour tout x∈]−1,[1

5. sin⁡(x)\sin (x)sin(x)

   ∑k=0∞(−1)k(2k+1)!x2k+1=x−x33!+x55!−x77!+… pour tout x∈R\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\ldots \text { pour tout } x \in \mathbb{R}∑k=0∞​(2k+1)!(−1)k​x2k+1=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+… pour tout x∈R

6. cos⁡(x)\cos (x)cos(x)

   ∑k=0∞(−1)k(2k)!x2k=1−x22!+x44!−x66!+… pour tout x∈R\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} x^{2 k}=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots \text { pour tout } x \in \mathbb{R}∑k=0∞​(2k)!(−1)k​x2k=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+… pour tout x∈R

7. sh⁡(x)\operatorname{sh}(x)sh(x)

   ∑k=0∞1(2k+1)!x2k+1=x+x33!+x55!+x77!+… pour tout x∈R\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}=x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\frac{x^{7}}{7 !}+\ldots \text { pour tout } x \in \mathbb{R}∑k=0∞​(2k+1)!1​x2k+1=x+3!x3​+5!x5​+7!x7​+… pour tout x∈R

8. ch⁡(x)\operatorname{ch}(x)ch(x)

   ∑k=0∞1(2k)!x2k=1+x22!+x44!+x66!+… pour tout x∈R\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k) !} x^{2 k}=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots \text { pour tout } x \in \mathbb{R}∑k=0∞​(2k)!1​x2k=1+2!x2​+4!x4​+6!x6​+… pour tout x∈R