Analysis 3 Definitionen und Sätze (TU Wien, Austria)

A short collection of definitions and theorems of the calculus 3 lecture by Harald Woracek

63 flashcards · Mathematics · by Locke Lamora

Gerichtete Menge "> <I,≤ ><I, \leq ~><I,≤ >
Reflexivität: ∀x∈X:x≤x\forall x \in X: x \leq x∀x∈X:x≤x Transitivität: ∀x,y,z∈X:x≤y∧y≤z ⟹ x≤z\forall x,y,z \in X: x\leq y \wedge y \leq z \implies x \leq z∀x,y,z∈X:x≤y∧y≤z⟹x≤z ∀J⊆I\forall J \subseteq I∀J⊆I endlich: ∃\exists∃ obere Schranke von JJJ in "> <I,≤ ><I, \leq ~><I,≤ >
XXX Menge T⊆P(X)T \subseteq P(X)T⊆P(X) Topologie auf XXX
∅∈T,X∈T\emptyset \in T, X\in T∅∈T,X∈T ∀S⊆T:⋃S∈T\forall S \subseteq T: \bigcup S \in T∀S⊆T:⋃S∈T O1,...,On∈T ⟹ ⋂i=1nOi∈TO_1, ..., O_n \in T \implies \bigcap_{i=1}^n O_i \in TO1,...,On∈T⟹⋂i=1nOi∈T
, "> <X,T>,<Y,V>< X, T >, <Y, V> <X,T>,<Y,V> Topologische Räume f:X→Yf:X\to Yf:X→Y stetig
∀O∈V:f−1(O)∈T\forall O \in V : f^{-1}(O) \in T∀O∈V:f−1(O)∈T
\overset{f}{\to}"> <X,T>→f<Y,V><X, T > \overset{f}{\to}<Y, V><X,T>→f<Y,V> Homöomorphismus
fff bijektiv, stetig und f−1f^{-1}f−1 stetig
, "> <X,T>,<Y,V>< X, T >, <Y, V> <X,T>,<Y,V> Topologische Räume homöomorph
∃\exists∃ Homöomorphismus zwischen XXX und YYY
"> <X,T>< X, T><X,T> topologischer Raum ist Hausdorff Raum
∀x,y∈X,x≠y∃Ox,Oy∈T:Ox∩Oy=∅,x∈Ox,y∈Oy\forall x,y \in X, x\neq y \exists O_x, O_y \in T: O_x \cap O_y = \emptyset, x\in O_x, y\in O_y∀x,y∈X,x̸=y∃Ox,Oy∈T:Ox∩Oy=∅,x∈Ox,y∈Oy
"> <X,T><X, T><X,T> top. Raum, x∈X,U⊆Xx\in X, U \subseteq Xx∈X,U⊆X Umgebung von xxx in XXX bezüglich TTT
∃O∈T:x∈O⊆U\exists O \in T: x \in O \subseteq U∃O∈T:x∈O⊆U
Umgebungsfilter UT(x)\mathfrak{U}^T(x)UT(x)
Menge aller Umgebungen von xxx bezüglich TTT
Sei "> <X,T><X, T><X,T> top. Raum und (xn)n∈N(x_n)_{n\in \mathbb{N}}(xn)n∈N Folge in X,x∈XX, x\in XX,x∈X . Dann heißt (xn)n∈N(x_n)_{n\in\mathbb{N}}(xn)n∈N konvergent gegen xxx bezüglich TTT
∀U∈U(x)∃N∈N∀n≥N:xn∈U\forall U \in \mathfrak{U}(x) \exists N \in \mathbb{N}\forall n\geq N:x_n \in U∀U∈U(x)∃N∈N∀n≥N:xn∈U
XXX Menge, T,VT, VT,V Topologien auf XXX TTT feiner als VVV und TT T gröber als VVV
feiner: T⊇VT \supseteq VT⊇V gröber: T⊆VT \subseteq VT⊆V
"> <X,T><X, T> <X,T> top. Raum A⊆XA\subseteq XA⊆X abgeschlossen bezüglich TTT
X∖A∈TX\setminus A \in TX∖A∈T
Der Abschluss von M⊆XM \subseteq XM⊆X bezüglich TTT ist definiert als
die kleinste abgeschlossene Menge, die MMM umfasst.
"> <X,T><X, T> <X,T> top. Raum M⊆XM\subseteq XM⊆X heißt dicht in XXX bezüglich TTT
M‾=X\overline{M}=XM=X
"> <X,T><X, T><X,T> top. Raum x∈X U⊆Xx \in X ~ U\subseteq Xx∈X U⊆X heißt Umgebung
∃O∈T:x∈O⊆U\exists O \in T: x\in O \subseteq U∃O∈T:x∈O⊆U
XXX Menge F\mathcal{F}F ⊆P(X)\subseteq P(X)⊆P(X) heißt Filter
∅∉F,F≠∅\emptyset \not\in \mathcal{F}, \mathcal{F} \neq \emptyset∅∈F,F=∅ ∀G⊆F\forall G \subseteq \mathcal{F}∀G⊆F endlich: ⋂G⊆F\bigcap G\subseteq \mathcal{F}⋂G⊆F ∀F∈F,G∈P(X):F⊆G ⟹ G∈F\forall F \in\mathcal{F}, G\in P(X):F\subseteq G\implies G \in \mathcal{F}∀F∈F,G∈P(X):F⊆G⟹G∈F
"> <X,T><X, T><X,T> top. Raum, "> <I,≤><I, \leq><I,≤> gerichtet, f:I→Xf:I\to Xf:I→X ,x∈X, x\in X,x∈X . Das Netz fff konvergiert gegen XX X in "> <X,T><X, T><X,T> , wenn gilt
∀U∈U(x)∃i0∈I∀i≥i0:f(i)∈U\forall U \in \mathfrak{U}(x)\exists i_0 \in I \forall i \geq i_0: f(i) \in U∀U∈U(x)∃i0∈I∀i≥i0:f(i)∈U
"> <X,T><X,T><X,T> top. Raum K⊆XK\subseteq XK⊆X ist kompakt
∀E⊆T:⋃E⊇K ⟹ ∃E′⊆E\forall \mathcal{E} \subseteq T : \bigcup \mathcal{E} \supseteq K \implies \exists \mathcal{E}' \subseteq\mathcal{E}∀E⊆T:⋃E⊇K⟹∃E′⊆E endlich: ⋃E′⊇K\bigcup \mathcal{E}' \supseteq K⋃E′⊇K
XXX Menge E⊆P(X)\mathcal{E}\subseteq P(X)E⊆P(X) hat endliche Durchschnittseigenschaft
∀E′⊆E\forall \mathcal{E}' \subseteq \mathcal{E}∀E′⊆E endlich ⋂E′≠∅\bigcap \mathcal{E}' \neq \emptyset⋂E′=∅
Sei "> <X,d><X,d><X,d> metr. Raum M⊆XM\subseteq XM⊆X Durchmesser von MMM ist MMM heißt beschränkt, wenn MMM heißt total beschränkt, wenn
d(M)≔sup⁡{d(x,y)∣x,y∈M}d(M) \coloneqq \sup\{d(x,y)|x,y\in M\}d(M):=sup{d(x,y)∣x,y∈M} d(M)<∞d(M) < \inftyd(M)<∞ 0 \exists M_1, ..., M_n \subseteq X: M\subseteq \bigcup_{j=1}^n M_j \wedge \forall j=1,...,n: d(M_j) \leq \varepsilon"> ∀ε>0∃M1,...,Mn⊆X:M⊆⋃j=1nMj∧∀j=1,...,n:d(Mj)≤ε\forall \varepsilon > 0 \exists M_1, ..., M_n \subseteq X: M\subseteq \bigcup_{j=1}^n M_j \wedge \forall j=1,...,n: d(M_j) \leq \varepsilon∀ε>0∃M1,...,Mn⊆X:M⊆⋃j=1nMj∧∀j=1,...,n:d(Mj)≤ε
"> <X,T><X,T><X,T> top. Raum M⊆XM\subseteq XM⊆X heißt relativ kompakt
M‾\overline{M}M kompakt
Initiale Topologie Definition
III Menge, XXX Menge, "> <Yi,Vi><Y_i,\mathcal{V}_i><Yi,Vi> top. Räume, fi:X→Yif_i:X\rightarrow Y_ifi:X→Yi Funktionen, so ist die initiale Top. die gröbste Top auf XXX , die alle fif_ifi stetig macht.
Sei "> <Y,V><Y,\mathcal{V}><Y,V> ein top. Raum und X⊆YX \subseteq YX⊆Y . Die Spurtopologie ist: (2 Def)
Die initale bezüglich der Inklusionsabbildung V∣X={O∩X:O∈V}\mathcal{V}|_X=\{O \cap X: O \in \mathcal{V}\}V∣X={O∩X:O∈V}
Produkttopologie Definition
Die initiale bezüglich der kanonischen Projektionen.
Finale Topologie Definition:
III Menge, XXX Menge, " wfd-id="4262"> <Yi,Vi><Y_i,\mathcal{V}_i><Yi,Vi> top. Räume, Funktionen fi:Yi→Xf_i:Y_i\rightarrow Xfi:Yi→X , so ist die finale Top. die feinste Top auf XXX , die alle fif_ifi stetig macht.
Sei "> <X,T><X,\mathcal{T}><X,T> ein Top. Raum. Er erfüllt, das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn...
T\mathcal{T}T eine höchstens abzählbare Basis besitzt.
Sei MMM ein topologischer Raum und d∈Nd \in \mathbb{N}d∈N . Ein Paar (U,φ)(U,\varphi)(U,φ) heißt d-dimensionale Karte auf MMM , wenn...
U⊆MU \subseteq MU⊆M offen, und φ:U→Rd\varphi:U\rightarrow\mathbb{R}^dφ:U→Rd φ(U)⊆Rd\varphi(U)\subseteq\mathbb{R}^dφ(U)⊆Rd offen φ\varphi φ Homöomorphismus von "> <U,U∣M><U,U|_M><U,U∣M> auf "> <φ(U),Ed∣φ(U)><\varphi(U),\mathcal{E}^d|_{\varphi(U)}><φ(U),Ed∣φ(U)>
Eine Menge {(Ui,φi)∣i∈I}\{(U_i,\varphi_i)|i\in I\}{(Ui,φi)∣i∈I} heißt ein d-dimensionaler C1C^1C1 -Atlas von MMM , wenn....
∀i∈I: (Ui,φi)\forall i \in I:~(U_i,\varphi_i)∀i∈I: (Ui,φi) ist eine d-dimensionale Karte auf MMM ⋃i∈IUi=M \bigcup_{i\in I} U_i=M ⋃i∈IUi=M Für je zwei Indizes i,j∈Ii,j \in Ii,j∈I mit Uij=Ui∩UjU_{ij}=U_i \cap U_jUij=Ui∩Uj ≠∅\neq \emptyset=∅ ist der Kartenwechsel: φij:=φj∘φi−1∣φi(Uij):\varphi_{ij}:=\varphi_j \circ \varphi_i^{-1}|_{\varphi_i(U_{ij})}:φij:=φj∘φi−1∣φi(Uij): φi(Uij)→φj(Uij)\varphi_i(U_{ij})\rightarrow\varphi_j(U_{ij})φi(Uij)→φj(Uij) stetig differenzierbar ist.
Sei d∈Nd \in \mathbb{N}d∈N . Ein Paar ,\mathcal{A}>"> <<M,T>,A><<M,\mathcal{T}>,\mathcal{A}><<M,T>,A> heißt d-dimensionale C1C^1C1 -Mannigfaltigkeit, wenn...
"> <M,T><M,\mathcal{T}><M,T> ist ein topologischer Raum, der Hausdorff ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. A\mathcal{A}A ist ein ddd -dimensionaler C1C^1C1 -Atlas von M\mathcal{M}M
Seien ,\mathcal{A}>"> <<M,T>,A><<M,\mathcal{T}>,\mathcal{A}><<M,T>,A> und ,\mathcal{B}>"> <<N,V>,B><<N,\mathcal{V}>,\mathcal{B}><<N,V>,B> zwei C1C^1C1 Mannigfaltigkeiten. Eine Funktion F:M→NF: M \rightarrow NF:M→N heißt stetig differenzierbar, wenn gilt....
FFF ist T−V\mathcal{T}-\mathcal{V}T−V stetig. Für je zwei Karten (U,φ)∈A(U,\varphi) \in \mathcal{A}(U,φ)∈A und (V,ψ)∈B(V,\psi) \in \mathcal{B}(V,ψ)∈B mit , ist die Funktion F−1(U)∩V≠∅F^{-1}(U) \cap V \neq \emptysetF−1(U)∩V=∅ ist: ψ∘F∘φ−1∣φ(U∩F−1(V)): φ(U∩F−1(V))→ψ(V)\psi \circ F \circ \varphi^{-1}|_{\varphi(U \cap F^{-1}(V))}: ~\varphi(U \cap F^{-1}(V)) \rightarrow \psi(V)ψ∘F∘φ−1∣φ(U∩F−1(V)): φ(U∩F−1(V))→ψ(V) stetig differenzierbar.
Seien M,NM,NM,N Mannigfaltigkeiten und F:M→NF: M \rightarrow NF:M→N . Dann heißt FFF ein C1C^1C1 -Diffeomorphismus, wenn
FFF bijektiv und FFF und F−1F^{-1}F−1 beide stetig differenzierbar sind.
Sei "> <X,T><X,\mathcal{T}><X,T> ein top. Raum. Er heißt: lokalkompakt, wenn .... σ\sigmaσ -kompakt, wenn ....
wenn jeder Punkt von XXX eine kompakte Umgebung besitzt. wenn sich XXX als höchstens abzählbare Vereinigung kompakter Mengen schreiben lässt.
Seien MMM und NNN Mannigfaltigkeiten und F:M→NF: M \rightarrow NF:M→N . Dann heißt FFF eine Einbettung, wenn...
FFF ist stetig differenzierbar ( im Sinne der MF) für je zwei Karten (U,φ)(U,\varphi)(U,φ) von M und (V,ψ)(V,\psi)(V,ψ) von N und jeden Punkt a∈φ(U∩F−1(V))a \in \varphi(U \cap F^{-1}(V))a∈φ(U∩F−1(V)) : d(ψ∘F∘φ−1)(a)\text{d}(\psi \circ F \circ \varphi^{-1})(a)d(ψ∘F∘φ−1)(a) injektiv. FFF ist ein Homöomorphismus von MMM auf F(M)F(M)F(M) versehen mit der Spurtopologie von NNN
Sei MMM eine Mannigfaltigkeit. Dann heißt MM M eine eingebettete Mannigfaltigkeit, wenn es p∈Np \in \mathbb{N}p∈N gibt, sodass...
M⊆RpM \subseteq \mathbb{R}^pM⊆Rp ⊆:M→Rp\subseteq: M \rightarrow \mathbb{R}^p⊆:M→Rp ist eine Einbettung.
Sei d≤nd \leq nd≤n und M⊆RnM \subseteq \mathbb{R}^nM⊆Rn eine ddd -dimensionale eingebettete MF. Dann ist das Oberflächenmaß definiert als....
QQQ eine Partition (wie in einem Lemma). Wähle zu jedem B∈QB \in QB∈Q eine Karte (UB,φB)(U_B,\varphi_B)(UB,φB) von MMM mit B⊆UBB \subseteq U_BB⊆UB und setze ψB:=φB−1\psi_B:=\varphi_B^{-1}ψB:=φB−1 . Für eine Borelmenge AA A in MMM ist μ(A):=∑B∈Q∫φB(A∩B)det(dψBTdψB)dλ\mu(A):=\sum_{B \in Q} \int_{\varphi_B(A \cap B)} \sqrt{\text{det}(\text{d}\psi_B^T\text{d}\psi_B)}\text{d}\lambdaμ(A):=∑B∈Q∫φB(A∩B)det(dψBTdψB) dλ das Oberflächenmaß. Wertebereich ist [0,∞][0,\infty][0,∞] .
Eine Banachalgebra ist... Eine kommutative Banachalgebra ist.... Ein Einselement ist....
"> <X,⋅,∥.∥><X,\cdot,\|.\|><X,⋅,∥.∥> wo "> <X,⋅><X, \cdot><X,⋅> ein vollständig normierter Raum ist und ⋅:X×X→X\cdot:X \times X \rightarrow X⋅:X×X→X eine bilineare und assoziative Abbildung mit ∀x,y∈X:∥x⋅y∥≤∥x∥⋅∥y∥\forall x,y\in X: \|x\cdot y\|\leq \|x\| \cdot \|y\|∀x,y∈X:∥x⋅y∥≤∥x∥⋅∥y∥ Eine Banachalgebra wo " ⋅\cdot⋅ " kommutativ ist. ein e∈Xe \in X e∈X mit ∀x∈X:e⋅x=x⋅e=x\forall x \in X: e\cdot x = x\cdot e= x∀x∈X:e⋅x=x⋅e=x
Für f,g∈L1(Rd)f,g \in L^1(\mathbb{R}^d)f,g∈L1(Rd) ist die Faltung definiert als....
Für fast alle x∈Rdx\in \mathbb{R}^dx∈Rd gilt: (f⋆g)(x):=∫Rdf(x−y)g(y)dλ(y)(f\star g)(x) := \int_{\mathbb{R}^d}f(x-y)g(y) \text{d}\lambda(y)(f⋆g)(x):=∫Rdf(x−y)g(y)dλ(y) , f⋆g∈L1(Rd)f\star g \in L^1(\mathbb{R}^d)f⋆g∈L1(Rd) und macht "> <L1(Rd),⋆,∥.∥1><L^1(\mathbb{R}^d),\star,\|.\|_1><L1(Rd),⋆,∥.∥1> zu einer kommutativen Banachalgebra.
In einer Banachalgebra ist eine Folge (kn)n∈N(k_n)_{n\in \mathbb{N}}(kn)n∈N eine approximative Einheit, wenn....
∀x∈X:lim⁡x→∞∥x−x⋅kn∥=0\forall x \in X: \lim_{x\rightarrow \infty}\|x-x\cdot k_n\|=0 ∀x∈X:limx→∞∥x−x⋅kn∥=0 und lim⁡x→∞∥x−kn⋅x∥=0 \lim_{x\rightarrow \infty}\|x-k_n \cdot x\|=0 limx→∞∥x−kn⋅x∥=0
Satz von Arzela-Ascoli:
Sei F⊂C(X,R)\mathcal{F} \subset \mathcal{C}(X,\mathbb{R})F⊂C(X,R) . Dann sind äquivalent: F\mathcal{F}F total beschränkt F\mathcal{F}F punktweise beschränkt und gleichgradig stetig
Definiere punktweise beschränkt:
Sei F⊂C(X,R)\mathcal{F} \subset \mathcal{C}(X,\mathbb{R})F⊂C(X,R) . Dann ist F\mathcal{F}F punktweise beschränkt : ⟺\Longleftrightarrow⟺ ∀x∈X:sup⁡f∈F∣f(x)∣<∞\forall x \in X: \sup_{f\in \mathcal{F}} |f(x)| < \infty∀x∈X:supf∈F∣f(x)∣<∞
Definiere gleichgradig stetig:
F\mathcal{F} F gleichgradig stetig :⇔:\Leftrightarrow:⇔ 0 \exists U \in \mathcal{U}^T(x) \forall f \in\mathcal{F} \forall y \in U: |f(y)-f(x)|\leq \varepsilon"> ∀x∈X,ε>0∃U∈UT(x)∀f∈F∀y∈U:∣f(y)−f(x)∣≤ε\forall x \in X, \varepsilon >0 \exists U \in \mathcal{U}^T(x) \forall f \in\mathcal{F} \forall y \in U: |f(y)-f(x)|\leq \varepsilon∀x∈X,ε>0∃U∈UT(x)∀f∈F∀y∈U:∣f(y)−f(x)∣≤ε
Definiere lipschitz-Stetigkeit
, "> <X,d>,<X~,d~><X,d>,<\tilde{X},\tilde{d}> <X,d>,<X~,d~> metrische Räume, 0"> f:X→X~,α>0f: X \to \tilde{X}, \alpha > 0f:X→X~,α>0 . Dann heißt fff lipschitz stetig mit Exponent α\alphaα : ⇔\Leftrightarrow⇔ 0:~\forall x,y \in X. \tilde{d}(f(x),f(y)) \leq c(d(x,y)^\alpha)"> ∃c>0: ∀x,y∈X.d~(f(x),f(y))≤c(d(x,y)α)\exists c>0:~\forall x,y \in X. \tilde{d}(f(x),f(y)) \leq c(d(x,y)^\alpha)∃c>0: ∀x,y∈X.d~(f(x),f(y))≤c(d(x,y)α)
Lipα(X,X~)Lip_\alpha(X,\tilde{X})Lipα(X,X~)
Die Menge aller Lipschitz-stetigen Funkionen mit Exponent α\alphaα von XXX nach X~\tilde{X}X~ .
Lipschitz-Norm
0|\forall x,y \in X: \tilde{d}(f(x),f(y)) \leq cd(x,y)^\alpha \}"> ∣∣f∣∣Lipα:=min⁡{ c>0∣∀x,y∈X:d~(f(x),f(y))≤cd(x,y)α} ||f||_{Lip_\alpha}:= \min \{\ c>0|\forall x,y \in X: \tilde{d}(f(x),f(y)) \leq cd(x,y)^\alpha \} ∣∣f∣∣Lipα:=min{ c>0∣∀x,y∈X:d~(f(x),f(y))≤cd(x,y)α}
Ein wichtiges Korollar aus dem Satz von Arzela-Ascoli besagt, dass:
Für 0,\alpha>0, X"> x0∈X,c>0,α>0,Xx_0 \in X, c>0,\alpha>0, Xx0∈X,c>0,α>0,X kompakt und "> <X,d><X,d> <X,d> metrischer Raum gilt: F:={ f∈C(X,R)∣f∈Lipα(X,R),∣∣f∣∣Lipα≤c,∣f(x0)∣≤c}\mathcal{F} := \{\ f \in \mathcal{C}(X,\mathbb{R})| f\in Lip_\alpha(X,\mathbb{R}),||f||_{Lip_\alpha} \leq c,|f(x_0)| \leq c \} F:={ f∈C(X,R)∣f∈Lipα(X,R),∣∣f∣∣Lipα≤c,∣f(x0)∣≤c} ist kompakt.
Sei "> <X,T><X,\mathcal{T}> <X,T> ein top. Raum und M⊆XM \subseteq XM⊆X . Dann ist MMM dicht in XXX genau dann, wenn.... (hilfreiche Charakterisierung)
∀O∈T∖{∅}:M∩O≠∅\forall O \in \mathcal{T}\setminus\{\emptyset\}:M \cap O \neq \emptyset∀O∈T∖{∅}:M∩O=∅
Sei f∈L1(R)f \in L^1(\mathbb{R})f∈L1(R) . Dann ist die Fouriertransformation definiert als:
f^:R→C\hat f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}f^:R→C f^(ξ):=∫Rf(x)exp⁡(−2πixξ)dλ(x)\hat f(\xi):=\int_{\mathbb{R}} f(x) \exp(-2 \pi i x \xi)d\lambda(x)f^(ξ):=∫Rf(x)exp(−2πixξ)dλ(x) .^\hat ..^ selbst geht von dem "> <L1(r),⋆,∥.∥1><L^1(\mathbb{r}) ,\star,\|.\|_1><L1(r),⋆,∥.∥1> in den "> <C0(R,⋅,∥.∥∞><C_0(\mathbb{R},\cdot,\|.\|_\infty><C0(R,⋅,∥.∥∞>
Der Raum C0(R)C_0(\mathbb{R}) C0(R) ist definiert als:
C0(R):={f:R→C∣fstetig,lim⁡∣x∣→∞∣f(x)∣=0}C_0(\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}|f stetig, \lim_{|x|\rightarrow\infty}|f(x)|=0\}C0(R):={f:R→C∣fstetig,lim∣x∣→∞∣f(x)∣=0}
Rechenregeln der Fouriertransformation Sei f∈L1(R)f \in L^1(\mathbb{R})f∈L1(R) und g(x):=f(x)‾g(x):=\overline{f(x)}g(x):=f(x) . Dann gilt für g(x)g(x)g(x) .... Sei f∈L1(R)f \in L^1(\mathbb{R})f∈L1(R) und r∈R∖{0}r \in \mathbb{R}\setminus \{0\}r∈R∖{0} . Setze g(x):=f(rx)g(x):=f(rx)g(x):=f(rx) Dann gilt für g(x)g(x)g(x) ....
g∈L1(R)g\in L^1(\mathbb{R})g∈L1(R) mit ∥g∥1=∥f∥1\|g\|_1=\|f\|_1∥g∥1=∥f∥1 und ∀ξ∈R:g^(ξ)=f^(−ξ)‾\forall \xi \in \mathbb{R}: \hat g(\xi) = \overline{\hat f(-\xi)}∀ξ∈R:g^(ξ)=f^(−ξ) g∈L1(R)g\in L^1(\mathbb{R})g∈L1(R) mit ∥g∥1=1∣r∣∥f∥1\|g\|_1=\frac{1}{|r|}\|f\|_1∥g∥1=∣r∣1∥f∥1 und ∀ξ∈R:g^(ξ)=1∣r∣f^(1rξ)\forall \xi \in \mathbb{R}: \hat g(\xi)=\frac{1}{|r|}\hat f(\frac{1}{r}\xi)∀ξ∈R:g^(ξ)=∣r∣1f^(r1ξ)
Translationsoperator und Multiplikationsoperator
Ty:f(x)→f(x+y)T_y: f(x) \rightarrow f(x+y)Ty:f(x)→f(x+y) . Diese lineare isometrische Bijektion auf L1(R)L^1(\mathbb{R})L1(R) nennen wir Ty[L1]T_y[L^1]Ty[L1] analog für den C0(R)C_0(\mathbb{R})C0(R) Mg:f(x)→f(x)g(x)M_g: f(x) \rightarrow f(x)g(x)Mg:f(x)→f(x)g(x) . Diese lineare beschränkte Abbildung wie oben.
Rechenregeln der Fouriertransformation in Bezug auf Translation und Multiplikation:
∀y∈R:.^∘Ty[L1]=Me+2πiyξ[C0]∘.^\forall y \in \mathbb{R}: \hat . \circ T_y[L^1]=M_{e^{+2\pi i y \xi}}[C_0]\circ \hat .∀y∈R:.^∘Ty[L1]=Me+2πiyξ[C0]∘.^ ∀z∈R:Tz[C0]∘.^=.^∘Me−2πizx[L1]\forall z \in \mathbb{R}: T_z[C_0] \circ \hat . = \hat . \circ M_{e^{-2\pi i z x}}[L^1]∀z∈R:Tz[C0]∘.^=.^∘Me−2πizx[L1]
Rechenregeln beim Ableiten von Fouriertransformierten ... ...
Ist f(x),xf(x),…,xnf(x)∈L1(R)f(x),xf(x),\ldots,x^nf(x)\in L^1(\mathbb{R})f(x),xf(x),…,xnf(x)∈L1(R) so ist f^∈Cn(R)\hat f \in C^n(\mathbb{R})f^∈Cn(R) und (f^)(n)(ξ)=(−2πi)nxnf(x)undefined(ξ)(\hat f)^{(n)}(\xi)=(-2\pi i)^n \widehat{x^nf(x)}(\xi)(f^)(n)(ξ)=(−2πi)nxnf(x) (ξ) Ist f∈Cn(R)f \in C^n(\mathbb{R})f∈Cn(R) und f,f′,…,f(n)∈L1(R)f,f',\ldots,f^{(n)} \in L^1(\mathbb{R})f,f′,…,f(n)∈L1(R) , so ist f(n)undefined(ξ)=(2πi)nξnf^(ξ)\widehat{f^{(n)}}(\xi)=(2\pi i)^n\xi^n \hat f(\xi)f(n) (ξ)=(2πi)nξ…
Doppelte Fouriertransformation:
Sei f,f^∈L1(R)f,\hat f\in L^1(\mathbb{R})f,f^∈L1(R) dann gilt (f.ü.) f(x)undefinedundefined=f(−x)\widehat{\widehat{f(x)}}=f(-x)f(x) =f(−x)
Transformationsformel
X,YX, YX,Y Maßräume T:X→YT: X \to YT:X→Y messbar, μ\muμ Maß auf XXX . Dann gilt μT(A)=μ(T−1(A))\mu^T(A) = \mu(T^{-1}(A))μT(A)=μ(T−1(A)) für f:Y→[0,∞]f: Y \to [0,\infty]f:Y→[0,∞] ∫Yf dμT=∫X(f∘T) dμ\int_Y f ~d\mu^T = \int_X (f\circ T)~ d\mu∫Yf dμT=∫X(f∘T) dμ
Zusammenhängend:
Lässt sich nicht als Vereinigung von zwei getrennten Mengen schreiben. Getrennte Menge: Aˉ∩B=∅∧Bˉ∩A=∅\bar{A}\cap B = \emptyset \wedge \bar{B}\cap A = \emptysetAˉ∩B=∅∧Bˉ∩A=∅
T4:
∀A,B⊆X\forall A, B \subseteq X∀A,B⊆X abgeschlossen, disjunkt ∃OA,OB\exists O_A, O_B ∃OA,OB offen disjunkt mit A⊆OA,B⊆OBA\subseteq O_A, B \subseteq O_BA⊆OA,B⊆OB
Hinreichend für T4
top. Raum kompakt und Hausdorff
Lemma von Urysohn.
"> <X,T><X, T><X,T> erfüllt T4. Dann gilt ∀A,B⊆X\forall A, B \subseteq X∀A,B⊆X abg. und disj. ∃f:X→[0,1]\exists f: X\to [0,1]∃f:X→[0,1] stetig mit: ∀x∈A:f(x)=0\forall x \in A: f(x) = 0∀x∈A:f(x)=0 ∀x∈B:f(x)=1\forall x \in B: f(x) = 1∀x∈B:f(x)=1
Satz von Luzin:
"> <X,T><X, T> <X,T> top. Raum, kompakt, hausdorff, μ\muμ reguläres Borelmaß, dann gilt: 0 \exists g \in C(X, \mathbb{R}): \mu(\{x\in X| f(x) \neq g(x) \} ∀ε>0∃g∈C(X,R):μ({x∈X∣f(x)≠g(x)}<ε\forall \varepsilon > 0 \exists g \in C(X, \mathbb{R}): \mu(\{x\in X| f(x) \neq g(x) \} < \varepsilon∀ε>0∃g∈C(X,R):μ({x∈X∣f(x)=g(x)}<ε
Borelmaß
Maß auf den Borelmengen, sodass kompakte Mengen endliches Maß haben
Satz von Sard
T:X→RT: X \to \mathbb{R}T:X→R stetig diffbar CTC_T CT ist lebesgue-messbar mit Maß 0 Kritischer Punkt von T:T:T: det⁡dT(x0)=0\det dT(x_0) =0detdT(x0)=0
Satz von Kolmogoroff-Riesz
F⊆Lp(Rd)F\subseteq L^p (\mathbb{R}^d)F⊆Lp(Rd) ist total beschränkt, genau dann wenn 0 \exists r > 0 \forall f \in F: ||f \cdot 1_{\mathbb{R}\setminus U_r(0)}||_p ∀ε>0∃r>0∀f∈F:∣∣f⋅1R∖Ur(0)∣∣p<ε\forall \varepsilon > 0 \exists r > 0 \forall f \in F: ||f \cdot 1_{\mathbb{R}\setminus U_r(0)}||_p < \varepsilon∀ε>0∃r>0∀f∈F:∣∣f⋅1R∖Ur(0)∣∣p<ε 0 \exists \delta > 0 \forall f \in F \forall y: ||y|| ∀ε>0∃δ>0∀f∈F∀y:∣∣y∣∣<δ ⟹ ∣∣f−Tfy∣∣p<ε\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall f \in F \forall y:…
Lindelöf:
"> <X,T><X, T><X,T> erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom. wenn W⊆X,U⊆TW\subseteq X, U \subseteq TW⊆X,U⊆T sodass M⊆⋃UM \subseteq \bigcup UM⊆⋃U ⟹ ∃W⊆U\implies \exists W \subseteq U⟹∃W⊆U (höchstens) abzählbar mit M⊆⋃WM\subseteq \bigcup WM⊆⋃W
Whitney:
Sei M⊆RdM\subseteq \mathbb{R}^dM⊆Rd eine ddd -dim C1C^1C1 -MF Dann existiert eine Einbettung von MMM in Rd\mathbb{R}^dRd