Analysis 1 (Ulm University)

25 flashcards · Mathematics · by Yandrik

1. ∑k=1nk\sum _{k=1}^n k∑k=1n​k

   n(n+1)2\frac{n(n+1)}22n(n+1)​ (Gaussian Sum)

2. ∑k=1nk3\sum ^n_{k=1} k^3 ∑k=1n​k3

   (n(n+1)2)2\left( \frac{n(n+1)}2\right)^2(2n(n+1)​)2

3. ∑k=0nqk\sum^n_{k=0}q^k∑k=0n​qk

   1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}1−q1−qn+1​ (Geometric Sum)

4. A={x∈R,−3<x≤2}A=\{x\in R, -3 \lt x\le 2\}A={x∈R,−3<x≤2} Supremum = 2 Infimum = -3 Maximum = 2 Minimum = none

   Nichts: none

5. Supremum von A

   sup(A⊂R):sup(A\subset \R):sup(A⊂R): ∀a∈A:a≤sup(A)\forall a\in A: a \le sup (A)∀a∈A:a≤sup(A)

6. Maximum von A

   max(A⊂R):sup(A)∈Amax(A\subset \R): sup(A) \in Amax(A⊂R):sup(A)∈A Supremum von AAA , wenn in AAA

7. Infimum von A

   inf(A⊂R):inf(A\subset \R):inf(A⊂R): ∀a∈A:a≥inf(A)\forall a\in A: a\ge inf(A)∀a∈A:a≥inf(A)

8. Minimum von A

   min(A⊂R):inf(A)∈Amin(A\subset \R): inf(A)\in Amin(A⊂R):inf(A)∈A Infimum von A, wenn in A

9. |a| GE 0 Diese Eigenschaft heißt Definitheit ∣a⋅b∣|a\cdot b|∣a⋅b∣ = |a|*|b| Diese Eigenschaft heißt Multiplikativität ∣a+b∣≤|a+b| \le ∣a+b∣≤ |a|+|b| Diese Eigenschaft heißt Dreiecksungleichung a LE |a| Für a≠0a\ne 0a=0 ist: a2a^2a2 = (−a)2(-a)^2(−a)2 = ∣a∣2|a|^2∣a∣2 > 0 ∣a−1∣|a^{-1}|∣a−1∣ = |a|^(-1) ∣a∣<c⇔|a| < c \Leftrightarrow∣a∣<c⇔ aaa LT ccc ∧\wedge∧ −a-a−a LT ccc c \Leftrightarrow "> ∣b−a∣>c⇔|b-a| > c \Leftrightarrow ∣b−a∣>c⇔ a - c LT b LT a + c ∣∣a∣−∣b∣∣≤||a|-|b|| \le ∣∣a∣−∣b∣∣≤ |a-b| a<…

   ≥\ge≥ : GE ≤\le≤ : LE "> >>> : GT <<< : LT === : = ⋅\cdot⋅ : * +++ : + −-− : - ∣|∣ : | xnx^nxn : x^n xnx_nxn​ : x_n ∑\sum∑ : sum ∞\infin∞ : inf Nichts: none

10. sgn(−2)sgn(-2)sgn(−2) = -1 sgn(14.5223)sgn(14.5223)sgn(14.5223) = 1 sgn(0)sgn(0)sgn(0) = 1

    ≥\ge≥ : GE ≤\le≤ : LE "> >>> : GT <<< : LT === : = ⋅\cdot⋅ : * +++ : + −-− : - ∣|∣ : | xnx^nxn : x^n xnx_nxn​ : x_n ∑\sum∑ : sum ∞\infin∞ : inf Nichts: none

11. Kompaktes Intervall

    [a,b][a,b][a,b]

12. Offenes beschränktes Intervall

    (a,b)(a,b)(a,b)

13. Halboffenes beschränktes Intervall

    [a,b)[a,b)[a,b) oder (a,b](a, b](a,b]

14. Abzählbare Unendlichkeit

    Abzählbar unendlich beschreibt Mengen, denen für jedes Element e∈Ee\in Ee∈E ein eindeutiges n∈Nn\in \Nn∈N zugeordnet werden kann

15. Überabzählbare Unendlichkeit

    Überabzählbar unendlich beschreibt unendliche Mengen, denen für jedes Element e∈Ee\in Ee∈E kein eindeutiges n∈Nn\in \Nn∈N zugeordnet werden kann (Es existiert keine bijektive Funktion ∄f:E→N,n∈N↦e∈\E\not \exist f: E\to N, n\in N\mapsto e\in\E∃f:E→N,n∈N↦e∈\E )

16. Injektiv

    Eine Funktion heißt eineindeutig (injektiv), wenn für alle x1,x2∈Xx_1, x_2 \in Xx1​,x2​∈X mit x1≠x2x_1 \ne x_2x1​=x2​ stets gilt f(x1)≠f(x2)f(x_1) \ne f(x_2)f(x1​)=f(x2​) . (Wenn x1,x2↦yx1, x2\mapsto yx1,x2↦y , dann x1=x2x1 = x2x1=x2 )

17. Surjektiv

    Eine Funktion heißt surjektiv, wenn f(X)=Yf(X) = Yf(X)=Y , also ∃x∈X∀y∈Y :f(x)=y\exist x \in X\forall y \in Y\ : f(x) = y∃x∈X∀y∈Y :f(x)=y Oder auch: Das Bild von XXX ist YYY

18. Bijetiv

    Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist

19. Indexverschiebung um 7 bei: ∑k=219k−4\sum^{19}_{k=2} k-4∑k=219​k−4 = ∑\sum∑ ^26_k=9 k-11

    ≥\ge≥ : GE ≤\le≤ : LE "> >>> : GT <<< : LT === : = ⋅\cdot⋅ : * +++ : + −-− : - ∣|∣ : | xnx^nxn : x^n xnx_nxn​ : x_n ∑\sum∑ : sum ∞\infin∞ : inf Nichts: none

20. Addititivitätsregel bei Summen ∑k=mn(ak+bk)\sum^n_{k=m} (a_k+b_k)∑k=mn​(ak​+bk​)

    = ∑k=mnak+∑k=mnbk\sum^n_{k=m} a_k + \sum^n_{k=m} b_k∑k=mn​ak​+∑k=mn​bk​

21. Multiplikativitätsregel bei Summen ∑k=mnc⋅ak\sum^n_{k=m} c\cdot a_k∑k=mn​c⋅ak​

    =c⋅∑k=mnak=c\cdot \sum^n_{k=m} a_k=c⋅∑k=mn​ak​

22. Teleskopsumme ∑k=mn(ak−ak+1)\sum^n_{k=m} (a_k-a_{k+1})∑k=mn​(ak​−ak+1​)

    am−an+1a_m-a_{n+1}am​−an+1​

23. Rückwärtssummieren ∑k=382k\sum^8_{k=3} 2k∑k=38​2k = ∑\sum∑ ^8_k=3 2(11-k)

    ≥\ge≥ : GE ≤\le≤ : LE "> >>> : GT <<< : LT === : = ⋅\cdot⋅ : * +++ : + −-− : - ∣|∣ : | xnx^nxn : x^n xnx_nxn​ : x_n ∑\sum∑ : sum ∞\infin∞ : inf Nichts: none

24. Doppelsumme: Für n∈Nn\in\Nn∈N und ajk∈R a_{jk}\in \R ajk​∈R mit 1≤j≤k≤1\le j\le k\le1≤j≤k≤ gilt: ∑j=1n∑k=xnajk=\sum ^n_{j=1}\sum^n_{k=x} a_{jk}=∑j=1n​∑k=xn​ajk​=

    =∑k=1n∑j=1kajk= \sum^{n}_{k=1}\sum^k_{j=1} a_{jk}=∑k=1n​∑j=1k​ajk​ Dies ist der Fall, da nur die Summierungsreihenfolge geändert wird. Statt "spaltenweise" summieren wird "zeilenweise" summiert. a -+> b -+> c -+> d -+> e -+> f -+> g -+> h -+> i -+> j -+> k -+> l -+> m -+> n -+> o besitzt das gleiche Endergebnis wie | | | | | + + + + + V V V V V | a | b | c | d | e | | | f | g | h | i | | | | y | k | l | | | | | m | n | | | | | | o | _+___+___+___+___+_=_> Result

25. inf((−∞,14))inf( (-\infin, 14))inf((−∞,14)) = -inf max([4,7))max([4, 7))max([4,7)) = none sup((3,15))sup((3, 15))sup((3,15)) = 15 min([2,4])min([2, 4])min([2,4]) = 2 inf([1,4))inf([1, 4))inf([1,4)) = 1

    ≥\ge≥ : GE ≤\le≤ : LE "> >>> : GT <<< : LT === : = ⋅\cdot⋅ : * +++ : + −-− : - ∣|∣ : | xnx^nxn : x^n xnx_nxn​ : x_n ∑\sum∑ : sum ∞\infin∞ : inf Nichts: none