Spécialité Maths : Dénombrement

35 flashcards · Other · by anthony ollivier

1. Qu'est-ce que n! ?

   n!=1×2×⋯×nn! = 1\times2\times\cdots\times nn!=1×2×⋯×n

2. Que vaut 0! ?

   0! = 1

3. Quelle relation permet de calculer une factorielle à partir de la précédente ?

   n!=n×(n−1)!n! = n\times(n-1)!n!=n×(n−1)!

4. Que représente n! en dénombrement ?

   Le nombre de permutations de n objets distincts, c'est-à-dire le nombre de façons de les ordonner.

5. Combien de façons peut-on ranger 5 livres distincts sur une étagère ?

   5! = 120

6. Quel principe utilise-t-on lorsque plusieurs choix successifs sont indépendants ?

   Le principe multiplicatif : on multiplie le nombre de possibilités de chaque étape.

7. Une tenue est composée d'un pantalon parmi 4 et d'un pull parmi 6. Combien de tenues différentes peut-on former ?

   4×6=244\times6=244×6=24

8. Quel principe utilise-t-on lorsque plusieurs cas sont incompatibles ?

   Le principe additif : on additionne le nombre de possibilités de chaque cas.

9. On peut choisir un dessert parmi 5 glaces ou 3 gâteaux. Combien y a-t-il de possibilités si les deux choix sont incompatibles ?

   5+3=8

10. Qu'est-ce qu'un arrangement de k éléments parmi n ?

    C'est une sélection de k éléments distincts parmi n, dans laquelle l'ordre compte.

11. Quelle est la formule du nombre d'arrangements de k éléments parmi n ?

    n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}(n−k)!n!​

12. Combien de podiums différents peut-on obtenir avec 10 coureurs ?

    10×9×8=72010\times9\times8=72010×9×8=720

13. Pourquoi utilise-t-on un arrangement pour déterminer les podiums d'une course ?

    Parce que l'ordre compte : être premier, deuxième ou troisième donne des résultats différents.

14. Qu'est-ce qu'une combinaison de k éléments parmi n ?

    C'est une sélection de k éléments distincts parmi n, dans laquelle l'ordre ne compte pas.

15. Quelle est la formule du nombre de combinaisons de k éléments parmi n ?

    (nk)=n!k!(n−k)!\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​

16. Que représente (nk) \binom nk(kn​) ?

    Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre.

17. Combien de groupes de 3 élèves peut-on former avec 10 élèves ?

    (103)=10!3!7!=10×9×86=120\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!}=\frac{10\times9\times8}{6}=120 (310​)=3!7!10!​=610×9×8​=120

18. Pourquoi utilise-t-on une combinaison pour former un groupe d'élèves ?

    Parce que l'ordre des élèves dans le groupe ne compte pas.

19. Quelle différence essentielle y a-t-il entre un arrangement et une combinaison ?

    Dans un arrangement, l'ordre compte ; dans une combinaison, l'ordre ne compte pas.

20. Comment reconnaître rapidement une situation de combinaison ?

    On peut se demander : « Si j'inverse les éléments choisis, est-ce le même résultat ? » Si oui, on utilise une combinaison.

21. Comment reconnaître rapidement une situation d'arrangement ?

    Si changer l'ordre des éléments donne un résultat différent, on utilise un arrangement.

22. Combien de façons peut-on choisir 4 personnes parmi 9 ?

    (94)=9!4!5!=9×8×7×64!=126\binom94=\frac{9!}{4!5!}=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!}=126(49​)=4!5!9!​=4!9×8×7×6​=126

23. Combien de façons peut-on choisir 4 personnes parmi 9 puis les placer dans 4 sièges distincts ?

    9×8×7×6=30249\times8\times7\times6=30249×8×7×6=3024

24. Que vaut (n0)\binom n0(0n​) ?

    (n0)=1\binom n0=1(0n​)=1

25. Que vaut (nn)\binom nn(nn​) ?

    (nn)=1\binom nn=1(nn​)=1

26. Que vaut (n1)\binom n1(1n​) ?

    (n1)=n\binom n1=n(1n​)=n

27. Quelle est la propriété de symétrie des coefficients binomiaux ?

    (nk)=(nn−k)\binom nk=\binom n{n-k}(kn​)=(n−kn​)

28. Comment calculer rapidement (108)\binom{10}{8}(810​) ?

    Grâce à la symétrie : (108)=(102)=45\binom{10}{8}=\binom{10}{2}=45(810​)=(210​)=45 .

29. Combien de codes à 4 chiffres peut-on former avec les chiffres 0 à 9 si les répétitions sont autorisées ?

    104=10 00010^4=10\,000104=10000

30. Combien de codes à 4 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres 0 à 9 ?

    10×9×8×7=504010\times9\times8\times7=504010×9×8×7=5040

31. Quelle différence y a-t-il entre un tirage avec remise et un tirage sans remise ?

    Avec remise, un élément peut être choisi plusieurs fois et le nombre de possibilités reste constant. Sans remise, un élément ne peut plus être choisi et le nombre de possibilités diminue.

32. Combien de suites de 4 chiffres peut-on former avec les chiffres de 0 à 9 si les répétitions sont autorisées ?

    104=10 000.10^4=10\,000.104=10000.

33. Combien de suites de 3 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de 0 à 9 ?

    10×9×8=72010\times9\times8=72010×9×8=720

34. Pour un tirage de 5 cartes parmi 32 cartes, quelle formule utilise-t-on si l'ordre des cartes ne compte pas ?

    (325)\binom{32}{5}(532​)

35. Pour former un groupe de 5 personnes parmi 20, quelle formule utilise-t-on ?

    (205)\binom{20}{5}(520​) , car l'ordre des personnes dans le groupe ne compte pas.