Lineare Algebra und Geometrie 2 (TU Wien, Austria)

299 flashcards · Mathematics · by Locke Lamora

1. Punktmenge

   ∀v∈V∀m∈M∃!m+v∈M\forall v \in V \forall m \in M \exists ! m + v \in M∀v∈V∀m∈M∃!m+v∈M sodass: ∀v,v′∈V∀m∈M\forall v, v' \in V \forall m \in M∀v,v′∈V∀m∈M (m+v)+v′=m(v+v′)(m + v) + v' = m (v+v')(m+v)+v′=m(v+v′) ∀m∈M:m+0=m\forall m \in M: m + 0 = m∀m∈M:m+0=m ∀m,m′∈M∃v∈V:m+v=m′\forall m, m' \in M \exists v \in V: m + v = m'∀m,m′∈M∃v∈V:m+v=m′ ∀v,v′∈V∀m∈M:(v≠v′ ⟹ m+v≠m+v′)\forall v,v' \in V \forall m \in M: (v\neq v' \implies m + v \neq m + v')∀v,v′∈V∀m∈M:(v=v′⟹m+v=m+v′)

2. Affiner Raum

   a+U={a+u:u∈U}a + U = \{a + u: u \in U\}a+U={a+u:u∈U} mit VVV VR, UUU UR von VVV und a∈Va \in Va∈V alt: Affiner Raum über einem VR VVV mit Punktemenge MMM

3. Zusammenhang Punktemenge affiner UR

   a+U=Ma + U = Ma+U=M

4. Dimension affiner Raum

   dim(a+U)=dim(U)\text{dim}(a + U ) = \text{dim}(U)dim(a+U)=dim(U)

5. Affine Linearkombination

   ∑i=1nximi\sum_{i=1}^n x_i m_i∑i=1n​xi​mi​ mit mi∈a+U,xi∈Km_i \in a + U, x_i \in Kmi​∈a+U,xi​∈K sodass ∑i=1nxi=1\sum_{i=1}^n x_i = 1∑i=1n​xi​=1

6. Affine Hülle von MMM

   H(M):={∑i=1nximi∣mi∈M,∑i=1nxi=1}H(M) := \{\sum_{i=1}^n x_i m_i | m_i \in M, \sum_{i=1}^n x_i = 1\}H(M):={∑i=1n​xi​mi​∣mi​∈M,∑i=1n​xi​=1} Alt.: H(M)=⋂{A′:A′⊇M,A′ affin}H(M) = \bigcap \{A': A' \supseteq M, A' \text{ affin}\}H(M)=⋂{A′:A′⊇M,A′ affin} (Schnitt der affinen UR von AAA welche MMM enthalten)

7. Satz zu Schnitt von affinen UR

   Schnitt von affinen UR ist entweder leer oder ein affiner UR

8. affin abhängig

   (mi)i∈I(m_i)_{i\in I}(mi​)i∈I​ affin abhängig ⟺ \iff⟺ ∃j∈I:mj=∑i∈I∖{j}ximi\exists j \in I: m_j = \sum_{i\in I\setminus \{j\}}x_i m_i∃j∈I:mj​=∑i∈I∖{j}​xi​mi​ mit ∑i∈I∖{j}xi=1\sum_{i\in I\setminus \{j\}} x_i = 1∑i∈I∖{j}​xi​=1 Alt: 0=∑i∈Iximi0 = \sum_{i \in I} x_i m_i 0=∑i∈I​xi​mi​ mit ∑i∈Ixi=0\sum_{i \in I}x_i = 0∑i∈I​xi​=0 und ∃j∈I:xj≠0\exists j \in I: x_j \neq 0∃j∈I:xj​=0

9. Zusammenhang affin abhängig/linear abhängig

   (mi)i∈I(m_i)_{i\in I}(mi​)i∈I​ affin abhängig ⟺ ((mi−mj)i∈I∖{j}\iff ((m_i-m_j)_{i\in I\setminus \{j\}}⟺((mi​−mj​)i∈I∖{j}​ linear abhängig

10. Simplex

    affin unabhängige Menge

11. Affines Erzeugendensystem von MMM

    Hülle von MMM

12. affine Basis

    Simplex + affines Erzeugendensystem

13. MMM kollinear und komplanar

    kollinear: dim(H(M))=1\text{dim}(H(M)) = 1dim(H(M))=1 komplanar: dim(H(M))=2\text{dim}(H(M)) = 2dim(H(M))=2

14. Mächtigkeit von affiner Basis:

    BBB affine Basis: ∣B∣=n+1|B| = n+1∣B∣=n+1 (wenn nnn Mächtigkeit von AAA )

15. Parallelepiped

    p0+∑i=1nxi(pi−p0)p_0 + \sum_{i = 1}^n x_i (p_i - p_0) p0​+∑i=1n​xi​(pi​−p0​) mit xi∈{0,1}x_i \in \{0,1\}xi​∈{0,1}

16. Affiner Verbindungsraum

    H(⋃i∈IAi)H(\bigcup_{i \in I}A_i) H(⋃i∈I​Ai​) (auch als großes V)

17. Affine Unterräume und ihre Verbindungsräume

    Sei A1=s1+U1A_1 = s_1 + U_1A1​=s1​+U1​ und A2=s2+U2A_2 = s_2 + U_2A2​=s2​+U2​ , dann gilt: A1∨A2=s1+(U1+U2)A_1 \vee A_2 = s_1 + (U_1 + U_2)A1​∨A2​=s1​+(U1​+U2​) falls A1∩A2≠∅A_1 \cap A_2 \neq \emptysetA1​∩A2​=∅ A1∨A2=s1+([s2−s1]⨁(U1+U2))A_1 \vee A_2 = s_1 + ([s_2 - s_1] \bigoplus (U_1 + U_2))A1​∨A2​=s1​+([s2​−s1​]⨁(U1​+U2​)) falls A1∩A2=∅A_1 \cap A_2 = \emptysetA1​∩A2​=∅

18. Affiner Dimensionssatz

    A1=s1+U1,A2=s2+U2A_1 = s_1 + U_1, A_2 = s_2 + U_2A1​=s1​+U1​,A2​=s2​+U2​ endlichdimensional, so gilt: dimA1+dimA2=dim(A1∩A2)+dim(A1∨A2)\text{dim}A_1 + \text{dim}A_2 = \text{dim}(A_1 \cap A_2) + \text{dim}(A_1 \vee A_2)dimA1​+dimA2​=dim(A1​∩A2​)+dim(A1​∨A2​) falls A1∩A2≠∅A_1 \cap A_2 \neq \emptysetA1​∩A2​=∅ dimA1+dimA2=dim(U1∩U2)+dim(A1∨A2)−1\text{dim}A_1 + \text{dim}A_2 = \text{dim}(U_1 \cap U_2) + \text{dim}(A_1 \vee A_2)-1dimA1​+dimA2​=dim(U1​∩U2​)+dim(A1​∨A2​)−1 falls A1∩A2=∅A_1 \cap A_2 =…

19. Affine Abbildung

    α:A→A′\alpha: A \to A'α:A→A′ affin ⟺ \iff⟺ ∀∑i=1nximi\forall \sum_{i=1}^n x_i m_i∀∑i=1n​xi​mi​ affin in AAA gilt: α(∑i=1nximi)=∑i=1nxiα(mi)\alpha(\sum_{i=1}^n x_i m_i ) = \sum_{i=1}^n x_i \alpha(m_i)α(∑i=1n​xi​mi​)=∑i=1n​xi​α(mi​)

20. Affinität

    affine, bijektive Funktion

21. A,A′A, A'A,A′ affin isomorph

    ∃α:A→A′\exists \alpha: A \to A'∃α:A→A′ Affinität

22. Eigenschaft Affinität

    α\alphaα Affinität ⟹ α−1\implies \alpha^{-1}⟹α−1 Affinität

23. Affine Gruppe von AAA

    Menge der Affinitäten auf AAA

24. Zusammenhang lineare und affine Funktion

    A=r+X,A′=r′+X′A = r + X, A' = r'+X'A=r+X,A′=r′+X′ affine Räume: α:A→A′\alpha : A \to A'α:A→A′ affin, t∈At\in At∈A so ist f:X→X′:x−t↦α(x)−α(t)f: X \to X': x-t \mapsto \alpha(x) - \alpha(t)f:X→X′:x−t↦α(x)−α(t) mit x∈Ax \in Ax∈A linear f:X→X′f: X \to X'f:X→X′ linear, t∈A,t′∈A′t \in A, t' \in A't∈A,t′∈A′ so ist α:=πt′∘f∘π−t:A→A′:x↦f(x−t)+t′\alpha := \pi_{t'}\circ f \circ \pi_{-t}: A\to A': x \mapsto f(x-t)+t'α:=πt′​∘f∘π−t​:A→A′:x↦f(x−t)+t′ eine affine Abbildung mit α(t)=t′\alpha(t) = t'α(t)=t′

25. Zu α\alphaα gehörende lineare Abbildung

    fαf_\alphafα​

26. Bild affiner UR unter affinen Abbildungen

    Sei α:A→A′\alpha: A \to A'α:A→A′ affin, s+U⊆As + U \subseteq As+U⊆A affiner UR von AAA ⟹ α(s+U)\implies \alpha(s+U)⟹α(s+U) affiner UR von A′A'A′ also ∀M⊆A:α(H(M))=H(α(M))\forall M \subseteq A : \alpha(H(M)) = H(\alpha(M))∀M⊆A:α(H(M))=H(α(M))

27. Fundamentalsatz der affinen Geometrie

    A,A′A, A'A,A′ affine Räume, 2≤dim(A)=dim(A′)<∞2 \leq \text{dim}(A) = \text{dim}(A') < \infty2≤dim(A)=dim(A′)<∞ Sei f:A→A′f: A \to A'f:A→A′ bijektiv, sodass ( ∀a,b,c∈A\forall a,b,c \in A ∀a,b,c∈A a,b,ca, b,ca,b,c kollinear ⟹ f(a),f(b),f(c)\implies f(a), f(b), f(c)⟹f(a),f(b),f(c) kollinear) Dann folgt ff f semi-affin kollinear: Punkte liegen in einer Geraden

28. Semilineare Funktion

    V,V′V, V' V,V′ f:V→V′f: V\to V' f:V→V′ semilinear ⟺ \iff⟺ ∃ξ\exists \xi ∃ξ Automorphismus von KKK ∀x,y∈V:f(x)+f(y)=f(x+y)\forall x,y \in V: f(x) + f(y) = f(x+y)∀x,y∈V:f(x)+f(y)=f(x+y) ∀c∈K∀x∈V:f(c⋅x)=ξ(c)⋅f(x)\forall c \in K \forall x \in V: f(c\cdot x) = \xi(c) \cdot f(x)∀c∈K∀x∈V:f(c⋅x)=ξ(c)⋅f(x)

29. Semiaffine Funktion

    fff semiaffin ⟺ \iff⟺ ∀v1,...,vn∈V∀c1,...,cn∈K\forall v_1,...,v_n \in V \forall c_1,...,c_n \in K∀v1​,...,vn​∈V∀c1​,...,cn​∈K mit ∑i=1nci=1\sum_{i=1}^n c_i = 1∑i=1n​ci​=1 gilt f(∑i=1ncivi)=∑i=1nξ(ci)f(vi)f(\sum_{i=1}^n c_i v_i ) = \sum_{i=1}^n \xi(c_i)f(v_i)f(∑i=1n​ci​vi​)=∑i=1n​ξ(ci​)f(vi​)

30. Automorphismus

    ξ:K→K\xi: K\to Kξ:K→K automorphismus ⟺ \iff⟺ ξ\xiξ bijektiv ξ\xiξ Homomorphismus

31. Fortsetzungssatz

    Sei B⊆B \subseteqB⊆ AAA eine Basis des affinen Raums AAA , sei A′A'A′ ein affiner Raum, α:B→A′\alpha: B \to A'α:B→A′ beliebig Dann folgt: ∃!αˉ:A→A′\exists ! \bar\alpha: A \to A'∃!αˉ:A→A′ affin :αˉ∣B=α: \bar\alpha|_B = \alpha:αˉ∣B​=α

32. Bemerkung zum Fortsetzungssatz wenn BB B keine Basis

    BBB affin unabhängig: ⟹ \implies ⟹ es existieren ≥1\geq 1≥1 Fortsetzungen BBB affines Erzeugendensystem: ⟹ \implies⟹ es existeren ≤1\leq 1≤1 Fortsetzungen

33. Isomorphie von affinen Räumen und Vektorraum

    Jeder affine Raum A=r+XA = r + XA=r+X ist zu dem affinen Raum XXX isomorph (mit Einbettung α(u)=(1u)\alpha(u) = \begin{pmatrix} 1 \\u \end{pmatrix}α(u)=(1u​) )

34. Satz zu Einbettung

    H,H′H, H' H,H′ VR über KKK , α:H→H′\alpha: H \to H'α:H→H′ affin Dann folgt: ∃!g:K×H→K×H′\exists ! g: K\times H \to K \times H' ∃!g:K×H→K×H′ linear mit ∀x∈H:g(1,x)=(1,α(x))\forall x \in H: g(1,x) = (1,\alpha(x))∀x∈H:g(1,x)=(1,α(x))

35. Koordinatisierung zum affinen Koordinatensystem + Begriffe

    A=r+XA = r + XA=r+X affiner Raum nnn dimensional, dann ist B=(p1−u,...,pn−u)B = (p_1-u,...,p_n-u)B=(p1​−u,...,pn​−u) eine Basis von XXX und die Affinität B∗∘τ−uB^* \circ \tau_{-u}B∗∘τ−u​ eine Koordinatisierung mit B∗:X→Kn:x↦B∗(x)B^*:X\to K^n:x\mapsto B^*(x)B∗:X→Kn:x↦B∗(x) (schickt auf Koordinaten von XXX bzgl BBB ) p1,...,pup_1,...,p_up1​,...,pu​ Einheitspunkte uuu Ursprung {u}∨{pi}\{u\}\vee \{p_i\}{u}∨{pi​} Koordinatenachse

36. Koordinatendarstellung

    AundefinedαA′A \xrightarrow{\alpha}A'Aα ​A′ | | V V Knundefinedα′KmK^n \xrightarrow{\alpha'}K^mKnα′ ​Km Mit B∗∘τ−uB^*\circ \tau_{-u}B∗∘τ−u​ und B′∗∘τ−u′B'^*\circ \tau_{-u'}B′∗∘τ−u′​ Die Koordinatendarstellung ist dann: α′:=B′∗∘τ−u′∘α∘(B∗∘τ−u)−1\alpha' := B'^*\circ \tau_{-u'}\circ \alpha \circ (B^*\circ \tau_{-u})^{-1}α′:=B′∗∘τ−u′​∘α∘(B∗∘τ−u​)−1

37. Teilverhältnis

    g⊂Ag \subset Ag⊂A Gerade, u,p∈gu, p \in gu,p∈g also g=u+[{p−u}]g = u +[\{p-u\}]g=u+[{p−u}] Dann gilt für jeden Punkt x:x=u+[{p−u}]∗cx: x = u +[\{p-u\}]*cx:x=u+[{p−u}]∗c für c∈Kc \in Kc∈K Teilverhältnis: c=TV(x,p,u)c = TV(x,p,u)c=TV(x,p,u) Insbesondere: 1=TV(p,p,u)1 = TV(p,p,u)1=TV(p,p,u) und 0=TV(u,p,u)0 = TV(u,p,u)0=TV(u,p,u)

38. Projektiver Raum

    VV V VR dann ist P(V):={U⊆∣dimU=1}P(V) := \{U\subseteq|\text{dim} U = 1\}P(V):={U⊆∣dimU=1}

39. Projektive Punkte

    Elemente von P(V)P(V)P(V)

40. Dimension des projektiven Raums

    dimP(V):=dimV−1\text{dim}P(V) := \text{dim} V -1 dimP(V):=dimV−1 dimP(V)=1\text{dim}P(V) = 1dimP(V)=1 ... projektive Gerade dimP(V)=2\text{dim}P(V) = 2dimP(V)=2 ... projektive Ebene

41. Projektive Unterräume

    UUU UR von VVV ⟹ P(U)\implies P(U)⟹P(U) projektiver Unterraum von P(V)P(V)P(V)

42. Projektive Hülle

    M⊆P(V)M \subseteq P(V)M⊆P(V) dann ist die projektive Hülle H(M):=P([⋃M])H(M) := P([\bigcup M])H(M):=P([⋃M])

43. Projektiv abhängig

    M⊆P(V)M\subseteq P(V)M⊆P(V) projektiv abhängig ⟺ \iff⟺ ∃m∈M:m∈H(M∖{m})\exists m \in M: m\in H(M\setminus\{m\})∃m∈M:m∈H(M∖{m})

44. Projektiver Simplex Projektives Erzeugendensystem Projektive Basis

    Projektiv unabhängige Menge M⊆P(V):H(M)=P(V)M\subseteq P(V):H(M) = P(V)M⊆P(V):H(M)=P(V) Proj. Simplex + proj. ES

45. Projektiver Verbindungsraum

    ⋁i∈IP(Ui):=P(∑i∈IUi)\bigvee_{i\in I} P(U_i) := P(\sum_{i\in I}U_i)⋁i∈I​P(Ui​):=P(∑i∈I​Ui​)

46. Projektiver Dimensionssatz

    P(U1),P(U2)⊆P(V)P(U_1), P(U_2) \subseteq P(V)P(U1​),P(U2​)⊆P(V) dim(P(U1)∨P(U2))=dim(P(U1))+dim(P(U2))−dim(P(U1)∩P(U2)\text{dim}(P(U_1) \vee P(U_2)) = \text{dim}(P(U_1)) + \text{dim}(P(U_2)) - \text{dim}(P(U_1)\cap P(U_2)dim(P(U1​)∨P(U2​))=dim(P(U1​))+dim(P(U2​))−dim(P(U1​)∩P(U2​) wobei (P(U1)∩P(U2)=P(U1∩U2)(P(U_1)\cap P(U_2) = P(U_1 \cap U_2)(P(U1​)∩P(U2​)=P(U1​∩U2​)

47. Eigentliche Punkte, Fernpunkte, affiner Ausschnitt & projektiver Abschluss

    Eigentliche Punkte: Punkte auf der Hyperebene (Geraden des Projektiven Raums) P(0×H)P(0\times H)P(0×H) Fernpunkte: Punkte parallel zur Hyperebene affiner Ausschnitt: P(K×H)∖P(0×H)P(K\times H)\setminus P(0\times H)P(K×H)∖P(0×H) projektiver Abschluss: ϵ\epsilonϵ Einbettung von HHH in P(K×H)P(K\times H)P(K×H)

48. Zusammenhang proj. und affine Räume

    Wird aus dem proj. Raum P(K×H)P(K \times H)P(K×H) die Hyperebene P(0×H)P(0 \times H)P(0×H) entfernt so ist ξ:P(K×H)∖P(0×H)→H:K(x,h)↦1xh\xi: P(K\times H)\setminus P(0\times H) \to H : K(x,h) \mapsto \frac{1}{x}hξ:P(K×H)∖P(0×H)→H:K(x,h)↦x1​h bijektiv Die Umkehrabbildung ist gegeben durch ϵ:H→P(K×H):h↦[{(1,h)}]\epsilon: H \to P(K\times H): h\mapsto [\{(1,h)\}]ϵ:H→P(K×H):h↦[{(1,h)}]

49. Zusammenhang proj. und affin abhängig

    ϵ(M)\epsilon(M)ϵ(M) projektiv abhängig ⟺ \iff⟺ MMM affin abhängig

50. Kollineare Abbilung

    P(V),P(V′)P(V), P(V')P(V),P(V′) proj. Räume, f:V→V′f: V \to V'f:V→V′ linear dann ist P(f):P(V)∖P(kerf)→P(V′):[{x}]→[{f(x)}]P(f): P(V) \setminus P(\text{ker}f) \to P(V'): [\{x\}] \to [\{f(x)\}]P(f):P(V)∖P(kerf)→P(V′):[{x}]→[{f(x)}] kollineare Abbildung Also Geraden werden auf Geraden abgebildet

51. Kollineation

    bijektive kollineare Abbildung

52. Fundamentalsatz der projektiven Geometrie

    P(V),P(V′)P(V), P(V')P(V),P(V′) proj. Räume mit proj. Dimension ≥2\geq 2≥2 κ:P(V)→P(V′)\kappa: P(V) \to P(V')κ:P(V)→P(V′) bij., erhält proj. Geraden Dann gilt: ∃f:V→V′\exists f: V\to V'∃f:V→V′ semilinear, bij. mit κ=P(f)\kappa = P(f)κ=P(f)

53. Eigenschaften kollineare Abbildungen

    f,g∈L(V,V′)f, g \in L(V,V')f,g∈L(V,V′) ∀c∈K×:P(f)=P(cf)\forall c\in K^\times: P(f) = P(cf)∀c∈K×:P(f)=P(cf) P(f)=P(g) ⟹ ∃c∈K×:c⋅f=gP(f) = P(g) \implies \exists c \in K^\times: c\cdot f = gP(f)=P(g)⟹∃c∈K×:c⋅f=g

54. Projektive Gruppe

    PGL(V)PGL(V)PGL(V) ={P(f)∣f∈GL(V)}= \{P(f)| f\in GL(V)\}={P(f)∣f∈GL(V)} mit P:GL(V)→PGL(V):f↦P(f)P: GL(V) \to PGL(V): f\mapsto P(f)P:GL(V)→PGL(V):f↦P(f) also P(f∘g)=P(f)⋅P(g)P(f\circ g) = P(f) \cdot P(g)P(f∘g)=P(f)⋅P(g)

55. Bezugssystem

    M⊆P(V)M\subseteq P(V)M⊆P(V) Bezugssystem ⟺ \iff⟺ ∀m∈M:M∖{m}\forall m\in M: M \setminus \{m\}∀m∈M:M∖{m} proj. Basis von P(V)P(V)P(V)

56. Lemma zu Bezugssystemen

    dimP(V)=n<∞\text{dim}P(V) = n <\inftydimP(V)=n<∞ Dann gilt: -) (b0,...,bn)(b_0,...,b_n)(b0​,...,bn​) Basis von VVV ⟹ ([b0],...,[bn],[b0+...+bn])\implies ([b_0],...,[b_n],[b_0+...+b_n])⟹([b0​],...,[bn​],[b0​+...+bn​]) Bezugssystem Jedes Bezugssystem ist von dieser Form: (P0,...,Pn,Pn+1)(P_0,...,P_n, P_{n+1})(P0​,...,Pn​,Pn+1​) mit P0=[b0],...,Pn=[bn],Pn+1=[∑bi]P_0 = [b_0],...,P_n=[b_n], P_{n+1}=[\sum b_i]P0​=[b0​],...,Pn​=[bn​],Pn+1​=[∑bi​] mit einer Basis (b0,...,bn)(b_0,...,b_n)(b0​,...,bn​) v…

57. Fortsetzungssatz für projektive Räume

    P(V),P(V′)P(V), P(V')P(V),P(V′) projektive Räume, (Q0,...,Qn,Q),(Q0′,...,Qn′,Q′)(Q_0,..., Q_n, Q), (Q'_0,..., Q'_n, Q')(Q0​,...,Qn​,Q),(Q0′​,...,Qn′​,Q′) Bezugssysteme Dann gilt: ∃f∈L(V,V′)∀i:P(f)(Qi)=Qi′∧P(f)(Q)=Q′\exists f \in L(V, V') \forall i: P(f)(Q_i) = Q'_i \wedge P(f)(Q) = Q'∃f∈L(V,V′)∀i:P(f)(Qi​)=Qi′​∧P(f)(Q)=Q′ dieses fff ist eindeutig bis auf ein Skalar

58. Satz zu Einbettung von projektiven Räumen

    HHH undefinedα\xrightarrow{\alpha}α ​ H′H'H′ ϵ\epsilonϵ | | ϵ′\epsilon'ϵ′ V V P(K×H)undefinedκP(K×H′)P(K\times H) \xrightarrow{\kappa} P(K\times H')P(K×H)κ ​P(K×H′) Mit H,H′H, H'H,H′ VR und α\alphaα affin κ\kappaκ ist eindeutig, kollinear und es gilt κ∘ϵ=ϵ′∘α\kappa \circ \epsilon = \epsilon' \circ \alphaκ∘ϵ=ϵ′∘α

59. Koordinatisierung zum projektiven Koordinatensystem

    P(B∗):P(V)→P(Kn+1):[x]↦[B∗(x)]P(B^*): P(V) \to P(K^{n+1}): [x] \mapsto [B^*(x)]P(B∗):P(V)→P(Kn+1):[x]↦[B∗(x)] mit BBB Basis von VVV und B∗:V→Kn+1B^*: V\to K^{n+1}B∗:V→Kn+1 lineare Koordinatisierung [b0],...,[bn][b_0],...,[b_n][b0​],...,[bn​] ...Grundpunkte [∑bi][\sum b_i][∑bi​] ...Einheitspunkt Es gilt P(B∗)([bi])=[ei]P(B^*)([b_i]) = [e_i]P(B∗)([bi​])=[ei​] (von Einheitspunkt Vektor mit 1en)

60. Projektive Gerade: Doppelverhältnis

    Punkt XXX (projektive Gerade) hat 2 Koordinaten x0,x1x_0, x_1x0​,x1​ bzgl Bezugssystem (P0,P1,P)(P_0, P_1, P)(P0​,P1​,P) Das Doppelverhältnis von XXX bezüglich (P0,P1,P)(P_0, P_1, P)(P0​,P1​,P) ist x1x0\frac{x_1}{x_0}x0​x1​​ wobei x10:=∞\frac{x_1}{0}:= \infty0x1​​:=∞ Also DV(X,P,P0,P1):=x1x0DV(X, P, P_0, P_1) := \frac{x_1}{x_0}DV(X,P,P0​,P1​):=x0​x1​​ DV([x],[b0+b1],[b0],[b1])=x1x0 ⟺ [x]=[x0b0+x1b1]DV([x], [b_0 + b_1], [b_0], [b_1]) = \frac{x_1}{x_0}\iff [x] = [x_0b_0 + x_1b_1]DV([x],[b0​+b1​],…

61. Vierter harmonischer Punkt

    charK≠2\text{char}K \neq 2charK=2 DV(A,B,C,D)=−1DV(A,B,C,D) = -1DV(A,B,C,D)=−1 ⟹ A\implies A⟹A vierter harmonischer Punkt (A,B,C,D)(A,B,C,D)(A,B,C,D) harmonisch

62. kollineare Abbildungen und Doppelverhältnisse

    kollineare Abb. sind DV-treu

63. Lemma zum Zusammenhang zwischen DV und TV

    HHH VR und ϵ\epsilonϵ Einbettung des affinen Raums HHH in den proj. Raum P(K×H)P(K\times H)P(K×H) . Dann gilt: Sind x,p,ux,p,ux,p,u kollineare Punkte von H,u≠pH, u \neq pH,u=p dann gilt: TV(x,p,u)=DV(ϵ(x),ϵ(p),ϵ(u),[(0p−u)])TV(x,p,u) = DV(\epsilon(x), \epsilon(p),\epsilon(u), \left [ \begin{pmatrix}0\\p-u\end{pmatrix}\right ])TV(x,p,u)=DV(ϵ(x),ϵ(p),ϵ(u),[(0p−u​)]) Sind a,b,c,da,b,c,da,b,c,d kollineare Punkte von HHH , verschiden dann gilt: DV(ϵ(a),ϵ(b),ϵ(c),ϵ(d))=TV(a,b,c)TV(a,b,d)DV(\epsilon(…

64. Koordinatendarstellung der kollinearen Abbildung P(f)P(f)P(f)

65. Injektiv, Surjektiv

    Surjektiv: Für alle Elemente des Bildraums gibt es mindestens ein Urbild Injektiv: Für alle Elemente des Bildraums gibts es höchstens ein Urbild

66. K-Algebra

    VVV VR über KKK mit innerer Multiplikation, sodass für alle a,b,c∈Va,b,c \in Va,b,c∈V x∈Kx\in Kx∈K gilt: a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)a\cdot (b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c) (a+c)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)(a+c)\cdot c = (a \cdot c) + (b\cdot c)(a+c)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c) x(a⋅b)=(xa)⋅b=a⋅(xb)x(a\cdot b) = (xa)\cdot b = a\cdot (xb)x(a⋅b)=(xa)⋅b=a⋅(xb) Assoziativ, wenn ⋅\cdot⋅ assoziativ (umklammern) Kommutativ, wenn ⋅\cdot⋅ kommutativ (reihenfolge ändern) Jede assoziative K-Algebra ist auch ein Ring

67. Einselement in K-Algebra

    e∈Ve\in Ve∈V Einselement ⟺ \iff⟺ ∀a∈V:a⋅e=e⋅a=a\forall a \in V: a\cdot e = e \cdot a = a∀a∈V:a⋅e=e⋅a=a Bem.: Einselement ist eindeutig

68. Potenzen:

    a0=ea^0 = ea0=e a1=aa^1 = aa1=a an+1=a⋅ana^{n+1} = a \cdot a^nan+1=a⋅an

69. Unbestimmte

    (a0,a1,...)(a^0, a^1,...)(a0,a1,...) l.u. ⟺ \iff⟺ aaa Unbestimmte

70. Multiplikation von Folgen

    }"> f,g∈K<N>f, g \in K^{<\mathbb{N}>}f,g∈K<N> Sei h:=f⋅gh := f \cdot gh:=f⋅g mit h(n):=∑i=1nf(i)g(n−i)h(n) := \sum_{i=1}^n f(i)g(n-i)h(n):=∑i=1n​f(i)g(n−i) Damit auch }"> f⋅g∈K<N>f\cdot g \in K^{<\mathbb{N}>}f⋅g∈K<N> Also },\cdot)"> (K<N>,⋅) (K^{<\mathbb{N}>},\cdot)(K<N>,⋅) kommutative assoziative K-Algebra

71. kanonische Basis des }"> K<N> K^{<\mathbb{N}>}K<N>

    Sei X:=(0,1,0,0,...)X := (0,1,0,0,...)X:=(0,1,0,0,...) Dann ist (X0,X1,...)(X^0,X^1,...)(X0,X1,...) die kanonische Basis

72. Polynomring über KKK

    },\cdot)=: K[X]"> (K<N>,⋅)=:K[X] (K^{<\mathbb{N}>},\cdot)=: K[X](K<N>,⋅)=:K[X] , Elemente sind Polynome

73. P(X)P(X)P(X)

    P(X)=(a0,a1,...,an,0,....,0)=∑i=0naixiP(X) = (a_0,a_1,...,a_n,0,....,0) = \sum_{i=0}^n a_i x^iP(X)=(a0​,a1​,...,an​,0,....,0)=∑i=0n​ai​xi Wobei nn n Grad des Polynoms ( max{i:ai≠0}\text{max}\{i:a_i \neq 0\}max{i:ai​=0} )

74. Normiertes Polynom vom Grad nnn

    an=1a_n = 1an​=1

75. Gradregeln von Polynomen

    P,Q≠0P, Q \neq 0P,Q=0 grad(P(X)⋅Q(X))=gradP(X)+gradQ(X)\text{grad}(P(X) \cdot Q(X)) = \text{grad}P(X) + \text{grad} Q(X) grad(P(X)⋅Q(X))=gradP(X)+gradQ(X) grad(P(X)+Q(X))≤max⁡{gradP(X),gradQ(X)}\text{grad}(P(X) + Q(X)) \leq \max\{\text{grad}P(X), \text{grad}Q(X)\}grad(P(X)+Q(X))≤max{gradP(X),gradQ(X)}

76. Kürzungsregel

    P(X),P′(X),Q(X)∈K[X]P(X), P'(X), Q(X) \in K[X]P(X),P′(X),Q(X)∈K[X] mit Q(X)≠0Q(X) \neq 0Q(X)=0 Dann gilt: P(X)⋅Q(X)=P′(X)⋅Q(X) ⟹ P(X)=P′(X)P(X) \cdot Q(X) = P'(X) \cdot Q(X) \implies P(X) = P'(X)P(X)⋅Q(X)=P′(X)⋅Q(X)⟹P(X)=P′(X)

77. K-Algebra Homomorphismus

    V,WV, WV,W K-Algebra, f:V→Wf: V \to Wf:V→W linear ein K-Algebra-Homomorphismus ⟺ \iff⟺ ∀a,b∈Vf(a⋅b)=f(a)⋅f(b)\forall a, b \in V f(a \cdot b) = f(a)\cdot f(b)∀a,b∈Vf(a⋅b)=f(a)⋅f(b)

78. K-Algebra Isomorphismus K-Algebra Automorphismus

    Iso: Bij. Homomorphismus Auto: Isomorphismus von V→VV \to VV→V

79. Ersetzungssatz

    VVV assoziative K-Alg mit Einselment Wird vvv beliebig gewählt, so ist ψv:K[X]→V:P(X)↦P(v)\psi_v: K[X] \to V: P(X) \mapsto P(v) ψv​:K[X]→V:P(X)↦P(v) ein linearer K-Algebra Homomorphismus

80. Nullstellen eines Polynoms

    P(X)∈K[X],v∈VP(X) \in K[X], v\in VP(X)∈K[X],v∈V ( VV V K-Algebra) Dann ist vvv Nullstelle von P(X)P(X)P(X) ⟺ \iff⟺ P(v)=0P(v) = 0P(v)=0 Jedes Polynom vom Grad 0 hat keine Nullstellen (außer es ist das Nullpolynom)

81. Divisionsalgoritmus

    P,Q∈K[X],Q≠0P, Q \in K[X], Q\neq 0P,Q∈K[X],Q=0 ⟹ ∃!S∈K[X]∃!P∈K[X]:P=S⋅Q+R\implies \exists ! S \in K[X] \exists ! P \in K[X]: P = S \cdot Q + R ⟹∃!S∈K[X]∃!P∈K[X]:P=S⋅Q+R mit grad R<R <R< grad QQQ

82. Vielfaches und Teiler

    Sei P(X)=S(X)Q(X)P(X) = S(X) Q(X)P(X)=S(X)Q(X) dann ist P(X)P(X)P(X) ein Vielfaches von Q(X)Q(X)Q(X) und Q(X)Q(X)Q(X) ein Teiler des Polynoms P(X)P(X)P(X)

83. PPP irreduzibles Polynom

    ∀S,Q:P=S⋅Q ⟹ S∈K∨Q∈K\forall S, Q : P= S\cdot Q \implies S \in K \vee Q \in K∀S,Q:P=S⋅Q⟹S∈K∨Q∈K Kann also nicht in zwei Polynome mit grad ≥\geq≥ 1 geteilt werden.

84. Lemma zu Nullstellen von Polynomen

    P(X)∈K[X]P(X) \in K[X]P(X)∈K[X] . t∈Kt \in Kt∈K Nullstelle ⟺ \iff⟺ (X−t)∣P(X-t) | P(X−t)∣P (ist Teiler voner PPP )

85. Vielfachheit von Nullstelle ttt

    max⁡{n∣(X−t)n∣P}\max\{n| (X-t)^n|P\}max{n∣(X−t)n∣P}

86. Teilbarkeit durch Nullstellen Lemma

    P(X)∈K[X],P≠0P(X) \in K[X], P \neq 0P(X)∈K[X],P=0 ,t1,...,tr, t_1,...,t_r,t1​,...,tr​ verschiedene NST von P(X)P(X)P(X) mit Vielfachheiten n1,...,nrn_1,...,n_rn1​,...,nr​ Dann gilt: (X−t1)n1⋅(X−tr)nr∣P(X-t_1)^{n_1}\cdot (X-t_r)^{n_r}|P(X−t1​)n1​⋅(X−tr​)nr​∣P

87. Bemerkungen zu Teilbarkeitslemma (Polynome)

    n1+...+nr≤nn_1 + ... + n_r \leq nn1​+...+nr​≤n (Grad der Polynome) r≤nr \leq nr≤n (Es gibt nicht mehr Nullstellen als den Grad des Polynoms)

88. Polynom zerfällt in Linearfaktoren

    P(X)=an(X−t1)n1⋅...⋅(X−tr)nrP(X) = a_n (X-t_1)^{n_1} \cdot ... \cdot (X-t_r)^{n_r}P(X)=an​(X−t1​)n1​⋅...⋅(X−tr​)nr​ Darstellung ist eindeutig falls sie existiert

89. Fundamentalsatz der Algebra

    Jedes Polynom P(X)∈C[X]P(X) \in \mathbb{C}[X]P(X)∈C[X] mit Grad ≥0\geq 0≥0 zerfällt über C\mathbb{C}C in Linearfaktoren

90. Darstellung reeller Polynome

    P∈R[X],P≠0P \in \mathbb{R}[X], P\neq 0P∈R[X],P=0 So existieren c,t1,...,tr,n1,...,nr,b1,...bs,c1,...cs,m1,...,msc, t_1,...,t_r, n_1,...,n_r, b_1,...b_s, c_1,...c_s, m_1,...,m_sc,t1​,...,tr​,n1​,...,nr​,b1​,...bs​,c1​,...cs​,m1​,...,ms​ sodass P=c∏i=1r(X−ti)ni∏j1s(X2+bjX+cj)mjP=c \prod_{i=1}^r (X-t_i)^{n_i} \prod_{j_1}^s(X^2+b_j X + c_j)^{m_j}P=c∏i=1r​(X−ti​)ni​∏j1​s​(X2+bj​X+cj​)mj​ eindeutig ist mit t1,...,trt_1,...,t_rt1​,...,tr​ die verschiedenen reellen NST und n1,...,nrn_1,...,n_rn1​,...,…

91. Korrollar aus der Darstellung reeller Polynome

    P∈R[X],grad(P)P \in \mathbb{R}[X], \text{grad}(P)P∈R[X],grad(P) ungerade ⟹ P\implies P⟹P hat NST

92. Eigenwerte und Eigenvektoren

    f∈L(V,V)f\in L(V, V)f∈L(V,V) Suche v∈V,t∈K:f(v)=t⋅vv\in V, t\in K: f(v) = t \cdot vv∈V,t∈K:f(v)=t⋅v mit v≠0v\neq 0v=0 vvv Eigenvektor ttt Eigenwert

93. Lemma um Eigenvektor zu Eigenwert zu erhalten

    Sei ttt EW von f∈L(V,V)f\in L(V, V)f∈L(V,V) . ∀v∈V∖{0}:v\forall v \in V \setminus\{0\}: v∀v∈V∖{0}:v EV zu ttt ⟺ (v∈ker(f−t⋅idλ)\iff (v\in \text{ker}(f-t\cdot \text{id}\lambda)⟺(v∈ker(f−t⋅idλ)

94. Eigenraum zum Eigenwert ttt

    Eigenvektoren von ttt + Nullvektor bilden einen Unterraum von VVV , den Eigenraum

95. Spektrum von f∈L(V,V)f\in L(V,V)f∈L(V,V)

    {t∈K:t EW von f}\{t \in K: t \text{ EW von }f\}{t∈K:t EW von f}

96. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

    A∈Kn×nA \in K^{n\times n}A∈Kn×n ,n≥1, n\geq 1,n≥1 t∈Kt \in Kt∈K EW von AAA ⟺ t\iff t⟺t EW von fAf_AfA​ v∈V∖{0}v\in V\setminus\{0\}v∈V∖{0} EV von A ⟺ vA\iff vA⟺v EV von fAf_AfA​

97. Eigenwerte von Diagonalmatrizen

    Genau die Diagonalelemente

98. Charakteristisches Polynom

    A∈Kn×nA \in K^{n\times n}A∈Kn×n Dann ist das charakteristische Polynom χA(X):=det⁡(A−X⋅En)\chi_A(X) := \det (A- X \cdot E_n)χA​(X):=det(A−X⋅En​)

99. Eigenwerte und charakteristisches Polynom

    ttt EW von A ⟺ χA(t)=0A \iff \chi_A(t) = 0A⟺χA​(t)=0

100. Anzahl Eigenwerte von AAA

     A∈Kn×nA \in K^{n\times n}A∈Kn×n hat höchstens nnn EW, also grad(χA(x))=n\text{grad}(\chi_A(x)) = ngrad(χA​(x))=n