[CBPM] TSpé - CH1 - Suites - Généralités
Revoir les généralités de première et quelques compléments servant dans les récurrences
24 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est croissante.
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , un≤un+1u_n \leq u_{n+1}un≤un+1
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est décroissante.
∀n∈N \forall n \in \mathbb{N} ∀n∈N , un≥un+1u_n \geq u_{n+1}un≥un+1
Quelle est la définition d'une suite (un)(u_n)(un) majorée par 5 ?
pour tout n∈N,un≤5n \in \mathbb{N}, u_n \leq 5n∈N,un≤5
Traduire mathématiquement : La suite (un)(u_n)(un) minorée par 5 ?
pour tout n∈N,un≥5n \in \mathbb{N}, u_n \geq 5n∈N,un≥5
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est croissante et majorée par 5
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , un≤un+1u_n \leq u_{n+1}un≤un+1 ≤5\leq 5≤5
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est décroissante et minorée par 5
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , 5≤un+1≤un5\leq u_{n+1} \leq u_n5≤un+1≤un
On sait que ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , −1≤un+1≤un≤10 -1 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 10−1≤un+1≤un≤10 Que peut-on en déduire pour la suite (un)(u_n)(un) ?
On peut dire que la suite (un)(u_n)(un) est : décroissante car un+1≤unu_{n+1} \leq u_n un+1≤un minorée par -1 car −1≤un-1 \leq u_n −1≤un majorée par 10 car un≤10 u_n \leq 10un≤10
On sait que ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , 0≤un≤un+1≤50 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 50≤un≤un+1≤5 Que peut-on en déduire pour la suite (un)(u_n)(un) ?
On peut dire que la suite (un)(u_n)(un) est : croissante car un≤un+1 u_n \leq u_{n+1}un≤un+1 minorée par 0 car 0≤un0 \leq u_n0≤un majorée par 5 car un≤5u_n \leq 5un≤5
Une suite décroissante est-elle minorée ?
Non, ce n'est pas toujours le cas.
Une suite décroissante est-elle majorée ?
Oui, une suite décroissante est majorée par son premier terme.
Une suite croissante est-elle minorée ?
Oui une suite croissante est minorée par son premier terme.
Une suite croissante est-elle majorée
Non, ce n'est pas toujours le cas.
Comment représenter graphiquement une suite du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) ?
On trace la courbe de la fonction fff Comme un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) alors les unu_nun sont les images des antécédents nnn Donc on ne garde que les points de la courbe dont les abscisses sont des entiers. Ainsi les termes de la suite sur leurs images situées sur l'axe des ordonnées. Exemple :
Comment représenter graphiquement une suite du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) ?
On représente les termes d'une suite définie par récurrence sur l'AXE des ABSCISSES Pour cela : On trace la courbe de la fonction fff Mais on trace aussi la droite d'équation y=xy=xy=x (Cette droite nous sert à 'redescendre' les ordonnées sur l'axe des abscisses) comme un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) cela signifie que un+1u_{n+1}un+1 est l'image (donc une ordonnée) de l'antécédent unu_nun par la fonction fff . Donc on trouve les termes de la suite sur l'axe des ordonnées et on les 'redes…
Quelles sont les différentes méthodes pour étudier les variations d'une suite ? Et dans quel cas s'appliquent-elles ?
Il existe 4 méthodes Méthode 1 : Etudier le signe de un+1–unu_{n+1}–u_nun+1–un Cette méthode est TOUJOURS VALABLE Rappel de la propriété utilisée Si 0"> un+1–un>0u_{n+1}–u_n > 0un+1–un>0 Alors u_n"> un+1>unu_{n+1} > u_nun+1>un Donc (un)(u_n)(un) est strictement croissante. Si un+1–un<0u_{n+1}–u_n< 0un+1–un<0 Alors un+1<unu_{n+1} < u_nun+1<un Donc (un)(u_n)(un) est strictement décroissante. Méthode 2 : Comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}unun+1 et 111 (valable SEULEMENT si tous les…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie pour n≥2n \geq 2n≥2 par un=n+1n−1u_n=\frac{\sqrt{n}+1}{n-1}un=n−1n +1 . Comment montrer que la suite (un)(u_n)(un) est décroissante?
on a une suite du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) . On peut utiliser 2 méthodes : Méthode 1 : Signe de un+1−unu_{n+1}-u_nun+1−un Méthode 3 : (un)(u_n)(un) a la même variation que fff Mais on choisit la METHODE 3 qui est plus facile dans notre cas que la deuxième car : un+1−un=n+1+1n−n+1n−1u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt{n+1}+1}{n}-\frac{\sqrt{n}+1}{n-1}un+1−un=nn+1 +1−n−1n +1 est une expression qui a un signe assez difficile à étudier puisque c'est une somme de deux nombres qui ne sont pas de mêm…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par pour tout entier naturel n≥2n \geq 2n≥2 par un=122+133+...+1nnu_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{n^n}un=221+331+...+nn1 . Comment montrer que (un)(u_n)(un) est croissante?
On a une suite du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) Une seule méthode est possible : Méthode 1 : Etudier le signe de la différence un+1−unu_{n+1}-u_nun+1−un Remarque : Exclusion des autres méthodes Méthode 2 (comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}unun+1 avec 1) est exclue car somme Méthode 3 (même variation que fff ) est exclue car la fonction fff ''n'existe pas'' car un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) est une somme de n−2+1=n−1n-2+1=n-1n−2+1=n−1 termes. Méthode 4 (Récurrence) est exclue car la relation de ré…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par u0=1000u_0=1000u0=1000 et pour tout entier naturel nnn , un+1=1,2un−100u_{n+1}=1,2 u_n-100un+1=1,2un−100 . On sait de plus que pour tout entier naturel nnn , un≥1000u_n\geq 1000un≥1000 . Comment montrer que (un)(u_n)(un) est croissante?
On a une suite du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) 2 méthodes sont possibles : Méthode 1 : Etudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_nun+1−un car on connaît une inégalité vérifiée par unu_nun Méthode 4 : La récurrence car c'est une suite définie par une formule de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) avec une seule fois le terme unu_nun Remarque : Exclusion des autres méthodes Méthode 2 (comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}unun+1 avec 1) est exclue car somme Méthode 3 (même…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par pour tout entier naturel nnn par un=2×0,4n7u_n=\frac{2\times 0,4^n}{7}un=72×0,4n . Comment montrer que (un)(u_n)(un) est décroissante?
On a une suite du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) On peut utiliser 2 méthodes : Méthode 1 : le signe de un+1−un u_{n+1}-u_n un+1−un Méthode 2 : comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}unun+1 avec 1 (Attention VALABLE seulement quand 0"> un>0u_n>0un>0 et seulement possible car unu_nun est donnée sous forme de puissances SANS SOMME!) Les 2 méthodes ont la même difficulté. On choisit celle que l'on préfère. Remarque : Exclusion des autres méthodes Méthode 3 (même variation que fff ) est exclue car f…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par u0=−0,5u_0=-0,5u0=−0,5 et pour tout entier naturel nnn , un+1=un2+unu_{n+1}=u_n^2+u_nun+1=un2+un . Comment montrer que (un)(u_n)(un) est croissante?
la suite est du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) 2 méthodes sont possibles : Méthode 1 : le signe de la différence un+1−unu_{n+1}-u_nun+1−un car c'est un cas particulier pour lequel on connaît très facilement le signe de cette différence Méthode 4 : la récurrence car c'est une suite définie par une formule de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) mais attention il faudra absolument utiliser la fonction fff car il y a 2 fois le terme unu_nun Donc on va préférer la méthode 1…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par pour tout entier naturel nnn , un=5+32n+1u_n=5+\frac{3}{2n+1}un=5+2n+13 Quelle méthode utiliser pour démontrer que la suite (un)(u_n)(un) est majorée par 8?
la suite (un)(u_n)(un) est du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) Donc on peut utiliser 2 méthodes : Méthode 1 : mêmes bornes que fff sur R+\mathbb R^+R+ Méthode 2 : encadrement en faisant des opérations (faisable car une seule fois le terme nnn dans l'expression de unu_nun ). Ici les 2 méthodes sont de même difficulté mais on choisira plutôt la deuxième méthode qui est plus rapide que la première Remarque : Exclusion des autres méthodes Méthode 3 (Récurrence) exclue car la suite n'est pas définie p…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par pour tout entier naturel nnn , un=3n−2n+1u_n=\frac{3n-2}{n+1}un=n+13n−2 Quelle méthode utiliser pour démontrer que la suite (un)(u_n)(un) est majorée par 3?
la suite (un)(u_n)(un) est du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) On a 2 méthodes possibles Méthode 1 : Même extremums que fff Méthode 2 : Encadrement de unu_nun en, faisant des opérations sur les inégalités en partant de n≥0n \geq 0n≥0 Ici on choisira plutôt la première méthode qui est plus facile que la deuxième car la deuxième présentera une difficulté car unu_nun comporte 2 fois le terme nnn Rédaction de la Méthode 1 : un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) avec f(x)=3x−2x+1f(x)=\frac{3x-2}{x+1}f(x)=x+13x−2…
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par u0=0u_0=0u0=0 et pour tout entier naturel nnn , un+1=3un+7u_{n+1}=3u_n+7un+1=3un+7 Quelle méthode utiliser pour démontrer que la suite (un)(u_n)(un) est minorée par 0?
La suite (un)(u_n)(un) est définie par récurrence donc du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) Une seule méthode est possible : La méthode 3 : La récurrence Les étapes pour montrer l'hérédité seront une multiplication par 3 puis une addition par 7 Rédaction (partielle) de la récurrence : La propriété au rang nnn est " un≥0u_n\geq 0un≥0 " ... Justification de l'hérédité : ... uk≥0u_k \geq 0uk≥0 3uk≥03 u_k \geq 03uk≥0 3uk+7≥73 u_k +7 \geq 73uk+7≥7 uk+1≥7≥0u_{k+1} \geq 7 \geq 0uk+1≥7≥0…
Quelles sont les différentes méthodes pour montrer qu’une suite est majorée ou minorée ou bornée ? Et dans quel cas peuvent-elles s’appliquer ?
Il y a 4 méthodes Méthode 1 : (un)(u_n)(un) a les mêmes bornes que fff (Valable seulement pour les suites du type un=f(n)u_n=f(n)un=f(n) ) Rappel de propriété : Si fff est majorée ou minorée ou bornée, Alors il est en de même pour la suite (un)(u_n)(un) . Remarque : il suffit chercher les extremums de fff dans son tableau de variations. Rédaction : D'après le tableau de variation de fff m est le minimum et M est le maximum de fff sur R+\mathbb R^+R+ Donc pour tout x∈R+x\in R^+x∈R+ , m≤f(x)≤M…