[CBPM] TSpé - S2 - Suites - Limites

54 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

Est-ce qu'une suite peut avoir plusieurs limites différentes?
Non la limite d'une suite est UNIQUE
Combien il y a-t-il de formes indéterminées dans les opérations sur les limites?
Il y a 4 formes indéterminées : une pour la somme '' +∞−∞+\infty-\infty+∞−∞ '' une pour le produit '' ∞×0\infty \times 0∞×0 '' deux pour le quotient '' ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ '' et '' 00′′\frac{0}{0}''00′′
Combien vaut la limite suivante? lim⁡n→+∞qn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{q^n}n→+∞limqn
Cela dépend de la valeur de qqq Si 1"> q>1q>1q>1 Alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{q^n}=+\inftyn→+∞limqn=+∞ Si q∈]−1;1[q\in]-1;1[q∈]−1;1[ Alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{q^n}=0n→+∞limqn=0 Si q≤−1q\leq -1q≤−1 Alors qnq^nqn n'a pas de limite Remarque : Comme il y a plusieurs cas, Il faut toujours justifier lim⁡n→+∞qn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{q^n}n→+∞limqn . Pour cela il suffit juste de préciser si 1"> q>1q>1q>1 ou q∈]−1;1[q\in]-1…
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞n2+n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^2+n}n→+∞limn2+n
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^2}=+\inftyn→+∞limn2=+∞ lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n}=+\inftyn→+∞limn=+∞ Donc par somme lim⁡n→+∞n2+n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^2+n}=+\inftyn→+∞limn2+n=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞1n+2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{1}{n}+2}n→+∞limn1+2
lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{1}{n}}=0n→+∞limn1=0 Donc par somme lim⁡n→+∞1n+2=2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{1}{n}+2}=2n→+∞limn1+2=2
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞−n3+10\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^3+10}n→+∞lim−n3+10
lim⁡n→+∞−n3=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^3}=-\inftyn→+∞lim−n3=−∞ Donc par somme lim⁡n→+∞−n3+10=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^3+10}=-\inftyn→+∞lim−n3+10=−∞
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞n4+5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^4+5}n→+∞limn4+5
lim⁡n→+∞n4=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^4}=+\inftyn→+∞limn4=+∞ Donc par somme lim⁡n→+∞n4+5=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^4+5}=+\inftyn→+∞limn4+5=+∞
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞−n4−n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^4-n}n→+∞lim−n4−n
lim⁡n→+∞−n4=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^4}=-\inftyn→+∞lim−n4=−∞ lim⁡n→+∞−n=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n}=-\inftyn→+∞lim−n=−∞ Donc par somme lim⁡n→+∞−n4−n=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^4-n}=-\inftyn→+∞lim−n4−n=−∞
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞−3n2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-3n^2}n→+∞lim−3n2
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^2}=+\inftyn→+∞limn2=+∞ Donc par produit lim⁡n→+∞−3n2=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-3n^2}=-\inftyn→+∞lim−3n2=−∞
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞5n2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{5n^2}n→+∞lim5n2
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^2}=+\inftyn→+∞limn2=+∞ Donc par produit lim⁡n→+∞5n2=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{5n^2}=+\inftyn→+∞lim5n2=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞−4n(−3−1n)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-4n\left(-3-\frac{1}{n}\right)}n→+∞lim−4n(−3−n1)
lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{1}{n}}=0n→+∞limn1=0 Donc par somme lim⁡n→+∞(−3−1n)=−3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\left(-3-\frac{1}{n}\right)}=-3n→+∞lim(−3−n1)=−3 De plus lim⁡n→+∞−4n=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-4n}=-\inftyn→+∞lim−4n=−∞ Donc par produit lim⁡n→+∞−4n(−3−1n)=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-4n\left(-3-\frac{1}{n}\right)}=+\inftyn→+∞lim−4n(−3−n1)=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞(1−n2)(4−n)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(1-n^2)(4-\sqrt{n})}n→+∞lim(1−n2)(4−n )
Par somme lim⁡n→+∞(1−n2)=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(1-n^2)}=-\inftyn→+∞lim(1−n2)=−∞ Par somme lim⁡n→+∞(4−n)=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(4-\sqrt{n})}=-\inftyn→+∞lim(4−n )=−∞ Donc par produit lim⁡n→+∞(1−n2)(4−n)=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(1-n^2)(4-\sqrt{n})}=+\inftyn→+∞lim(1−n2)(4−n )=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞n3n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^3\sqrt{n}}n→+∞limn3n
lim⁡n→+∞n3=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^3}=+\inftyn→+∞limn3=+∞ lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\sqrt{n}}=+\inftyn→+∞limn =+∞ Donc par produit lim⁡n→+∞n3n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n^3\sqrt{n}}=+\inftyn→+∞limn3n =+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞(5−1n)(−2+1n2)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\left(5-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(-2+\frac{1}{n^2}\right)}n→+∞lim(5−n 1)(−2+n21)
Par somme lim⁡n→+∞(5−1n)=5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\left(5-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=5n→+∞lim(5−n 1)=5 Par somme lim⁡n→+∞(−2+1n2)=−2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\left(-2+\frac{1}{n^2}\right)}=-2n→+∞lim(−2+n21)=−2 Donc par produit lim⁡n→+∞(5−1n)(−2+1n2)=−10\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\left(5-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(-2+\frac{1}{n^2}\right)}=-10n→+∞lim(5−n 1)(−2+n21)=−10
On sait que lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=-\inftyn→+∞limun=−∞ et lim⁡n→+∞vn=0+ \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^+ n→+∞limvn=0+ Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=-\inftyn→+∞limvnun=−∞
On sait que lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=+\inftyn→+∞limun=+∞ et lim⁡n→+∞vn=0−\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^-n→+∞limvn=0− Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=-\inftyn→+∞limvnun=−∞
On sait que lim⁡n→+∞un=−5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=-5n→+∞limun=−5 et lim⁡n→+∞vn=0+ \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^+ n→+∞limvn=0+ Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=-\inftyn→+∞limvnun=−∞
On sait que lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=+\inftyn→+∞limun=+∞ et lim⁡n→+∞vn=0+ \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^+ n→+∞limvn=0+ Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=+\inftyn→+∞limvnun=+∞
On sait que lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=-\inftyn→+∞limun=−∞ et lim⁡n→+∞vn=0−\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^-n→+∞limvn=0− Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=+\inftyn→+∞limvnun=+∞
On sait que lim⁡n→+∞un=−5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=-5n→+∞limun=−5 et lim⁡n→+∞vn=0−\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^-n→+∞limvn=0− Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=+\inftyn→+∞limvnun=+∞
On sait que lim⁡n→+∞un=5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=5n→+∞limun=5 et lim⁡n→+∞vn=0−\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^-n→+∞limvn=0− Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=-\inftyn→+∞limvnun=−∞
On sait que lim⁡n→+∞un=5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=5n→+∞limun=5 et lim⁡n→+∞vn=0+ \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=0^+ n→+∞limvn=0+ Quelle est la limite de unvn\frac{u_n}{v_n}vnun ?
Par quotient lim⁡n→+∞unvn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{u_n}{v_n}}=+\inftyn→+∞limvnun=+∞
Combien vaut la limite suivante ? lim⁡n→+∞2n+1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{2}{n+1}}n→+∞limn+12
lim⁡n→+∞n+1=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n+1}=+\inftyn→+∞limn+1=+∞ Donc par quotient lim⁡n→+∞2n+1=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{2}{n+1}}=0n→+∞limn+12=0
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞10−1n−2+1n2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{10-\frac{1}{\sqrt{n}}}{-2+\frac{1}{n^2}}}n→+∞lim−2+n2110−n 1
Par somme lim⁡n→+∞10−1n=10\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{10-\frac{1}{\sqrt{n}}}=10n→+∞lim10−n 1=10 Par somme lim⁡n→+∞−2+1n2=−2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-2+\frac{1}{n^2}}=-2n→+∞lim−2+n21=−2 Donc par quotient lim⁡n→+∞10−1n−2+1n2=−5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{10-\frac{1}{\sqrt{n}}}{-2+\frac{1}{n^2}}}=-5n→+∞lim−2+n2110−n 1=−5
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞n+22+1n2 \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{n+2}{2+\frac{1}{n^2}}}n→+∞lim2+n21n+2
Par somme lim⁡n→+∞n+2=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{n+2}=+\inftyn→+∞limn+2=+∞ Par somme lim⁡n→+∞2+1n2=2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{2+\frac{1}{n^2}}=2n→+∞lim2+n21=2 Donc par quotient lim⁡n→+∞n+22+1n2=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{n+2}{2+\frac{1}{n^2}}}=+\inftyn→+∞lim2+n21n+2=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞−n+1−3+1n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-n+1}{-3+\frac{1}{\sqrt{n}}}}n→+∞lim−3+n 1−n+1
Par somme lim⁡n→+∞−n+1=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n+1}=- \inftyn→+∞lim−n+1=−∞ Par somme lim⁡n→+∞−3+1n=−3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-3+\frac{1}{\sqrt{n}}}=-3n→+∞lim−3+n 1=−3 Donc par quotient lim⁡n→+∞−n+1−3+1n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-n+1}{-3+\frac{1}{\sqrt{n}}}}=+\inftyn→+∞lim−3+n 1−n+1=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞−n2+13+1n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-n^2+1}{3+\frac{1}{n}}}n→+∞lim3+n1−n2+1
Par somme lim⁡n→+∞−n2+1=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-n^2+1}=- \inftyn→+∞lim−n2+1=−∞ Par somme lim⁡n→+∞3+1n=3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{3+\frac{1}{n}}=3n→+∞lim3+n1=3 Donc par quotient lim⁡n→+∞−n2+13+1n=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-n^2+1}{3+\frac{1}{n}}}=- \inftyn→+∞lim3+n1−n2+1=−∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞3+1n3n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3+\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}}}n→+∞limn33+n1
Par somme lim⁡n→+∞3+1n=3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{3+\frac{1}{n}}=3n→+∞lim3+n1=3 Par quotient lim⁡n→+∞3n=0+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3}{n}}=0^+n→+∞limn3=0+ Donc par quotient lim⁡n→+∞3+1n3n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3+\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}}}=+\inftyn→+∞limn33+n1=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞3+1n−1n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3+\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}}n→+∞lim−n13+n1
Par somme lim⁡n→+∞3+1n=3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{3+\frac{1}{n}}=3n→+∞lim3+n1=3 Par quotient lim⁡n→+∞−1n=0−\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-\frac{1}{n}}=0^-n→+∞lim−n1=0− Donc par quotient lim⁡n→+∞3+1n−1n=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3+\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}}=-\inftyn→+∞lim−n13+n1=−∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞−3+1n−1n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-3+\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}}n→+∞lim−n1−3+n1
Par somme lim⁡n→+∞−3+1n=−3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-3+\frac{1}{n}}=-3n→+∞lim−3+n1=−3 Par quotient lim⁡n→+∞−1n=0−\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-\frac{1}{n}}=0^-n→+∞lim−n1=0− Donc par quotient lim⁡n→+∞−3+1n−1n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-3+\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}}=+\inftyn→+∞lim−n1−3+n1=+∞
Combien vaut cette limite? lim⁡n→+∞−3+1n5n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-3+\frac{1}{n}}{\frac{5}{n}}}n→+∞limn5−3+n1
Par somme lim⁡n→+∞−3+1n=−3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{-3+\frac{1}{n}}=-3n→+∞lim−3+n1=−3 Par quotient lim⁡n→+∞5n=0+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{5}{n}}=0^+n→+∞limn5=0+ Donc par quotient lim⁡n→+∞−3+1n5n=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{-3+\frac{1}{n}}{\frac{5}{n}}}=- \inftyn→+∞limn5−3+n1=−∞
Comment trouver la limite d'une suite?
Il y a 3 méthodes : soit directement grâce aux opérations sur les limites (et il faut donc avoir l'expression explicite de la suite donc unu_nun en fonction de nnn ) soit par le théorème des gendarmes ou les théorèmes de comparaison (et il faut donc avoir une inégalité sur unu_nun ) soit avec le théorème du point fixe (et il faut donc avoir une suite récurrente qui converge)
Quel est le théorème des gendarmes?
on a un≤vn≤wnu_n\leq v_n \leq w_nun≤vn≤wn Si lim⁡n→+∞un=L\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=Ln→+∞limun=L et lim⁡n→+∞wn=L\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{w_n}=Ln→+∞limwn=L Alors d'après le théorème des gendarmes 0n peut conclure que lim⁡n→+∞vn=L\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=Ln→+∞limvn=L
Quels sont les théorèmes de comparaison?
Il existe deux théorèmes de comparaison il faut avoir une comparaison de deux suites un≤vnu_n\leq v_nun≤vn Premier théorème de comparaison par minoration Si lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=+\inftyn→+∞limun=+∞ Alors lim⁡n→+∞vn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=+\inftyn→+∞limvn=+∞ Deuxième théorème de comparaison par majoration Si lim⁡n→+∞vn=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{v_n}=-\inftyn→+∞limvn=−∞ Alors lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{\substack{n…
Quelle est la différence entre le théorème des gendarmes et les 2 théorèmes de comparaison (Minoration ou majoration) ?
Le théorème des GENDARMES ne s'utilise QUE pour des limites FINIES Les théorèmes de COMPARAISON ne s'utilisent QUE pour des limites INFINIES
Pour quelle limite peut-on utiliser le théorème de comparaison par majoration ?
−∞- \infty−∞
Pour quelle limite peut-on utiliser le théorème de comparaison par minoration ?
+∞+ \infty+∞
On a un≤vn≤wnu_n\leq v_n \leq w_nun≤vn≤wn On sait que lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=+\inftyn→+∞limun=+∞ et lim⁡n→+∞wn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{w_n}=+\inftyn→+∞limwn=+∞ Quel est le théorème à utiliser pour trouver la limite de la suite (vn)(v_n)(vn) ?
Théorème de comparaison par minoration en utilisant seulement le côté un≤vnu_n\leq v_n un≤vn
On a un≤vn≤wnu_n\leq v_n \leq w_nun≤vn≤wn On sait que lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=-\inftyn→+∞limun=−∞ et lim⁡n→+∞wn=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{w_n}=-\inftyn→+∞limwn=−∞ Quel est le théorème à utiliser pour trouver la limite de la suite (vn)(v_n)(vn) ?
Théorème de comparaison par majoration en utilisant seulement le côté vn≤wn v_n \leq w_nvn≤wn
On a un≤vn≤wnu_n\leq v_n \leq w_nun≤vn≤wn on sait que lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=-\inftyn→+∞limun=−∞ et lim⁡n→+∞wn=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{w_n}=+\infty n→+∞limwn=+∞ Quel est le théorème à utiliser pour trouver la limite de la suite (vn)(v_n)(vn) ?
Aucun théorème On ne peut pas conclure sur la limite de la suite (vn)(v_n)(vn)
On a un≤vn≤wnu_n\leq v_n \leq w_nun≤vn≤wn on sait que lim⁡n→+∞un=6\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=6n→+∞limun=6 et lim⁡n→+∞wn=8\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{w_n}=8n→+∞limwn=8 Quel est le théorème à utiliser pour trouver la limite de la suite (vn)(v_n)(vn) ?
Aucun théorème car les limites ne sont pas égales On ne peut pas conclure sur la limite de la suite (vn)(v_n)(vn) On peut juste dire que si (vn)(v_n)(vn) a une limite (ce qui n'est pas sûr!) alors cette limite L est comprise entre 6 et 8 6≤L≤86\leq L\leq 86≤L≤8
On a ∀n∈N,un≤vn≤wn\forall n \in \mathbb{N}, u_n\leq v_n \leq w_n∀n∈N,un≤vn≤wn On sait que lim⁡n→+∞un=6\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{u_n}=6n→+∞limun=6 et lim⁡n→+∞wn=6\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{w_n}=6n→+∞limwn=6 Quel est le théorème à utiliser pour trouver la limite de la suite (vn)(v_n)(vn) ?
Théorème des gendarmes car la limite est finie!
Quel est le théorème du point fixe?
3 HYPOTHESES : *Si une suite est définie par une relation de récurrence soit un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un) *Si on sait déjà que la suite (un)(u_n)(un) converge vers sa limite LLL *Et si la fonction fff est continue en LLL CONCLUSION : Alors le théorème du point fixe dit que la limite LLL est solution de l'équation L=f(L)L=f(L)L=f(L) En français, ce théorème signifie que : Si une suite définie par récurrence converge alors sa limite est le point fixe de la fonction fff (d'où son nom!) C'…
Dans quel cas doit-on utiliser le théorème du point fixe pour déterminer la limite d'une suite récurrente?
Quand on sait DEJA que la suite CONVERGE et que l'on a une suite récurrente càd définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un)
On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par u0=−2u_0=-2u0=−2 et pour tout entier naturel nnn , un+1=13un+2u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2un+1=31un+2 . On sait que la suite (un)(u_n)(un) converge. Déterminer sa limite.
On détermine sa limite L grâce au théorème du point fixe. Comme un+1=13un+2u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2un+1=31un+2 Alors L est la solution de l'équation L=13L+2L=\frac{1}{3}L+2L=31L+2 L−13L=2L-\frac{1}{3}L=2L−31L=2 23L=2\frac{2}{3}L=232L=2 L=223L=\frac{2}{\frac{2}{3}}L=322 L=2×32L=2\times\frac{3}{2}L=2×23 Donc L=3L=3L=3 Donc la suite converge vers 3.
Comment lever la forme indéterminée n3n\frac{n^3}{\sqrt{n}}n n3 ?
C'est une FI du type ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ METHODE : Simplifier par n\sqrt{n}n grâce à l'égalité n=n2n=\sqrt{n}^2n=n 2 On a donc : n3n\frac{n^3}{\sqrt{n}}n n3 =n²×nn=\frac{n² \times n}{\sqrt{n}}=n n²×n =n²×n2n=\frac{n² \times \sqrt{n}^2}{\sqrt{n}}=n n²×n 2 = n2×nn^2 \times \sqrt{n}n2×n Ainsi on peut déterminer la limite par produit qui sera +∞+\infty+∞
Comment lever la forme indéterminée 2n−2n−1\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1}2n −2n−1 ?
C'est une FI du type +∞−∞+\infty-\infty+∞−∞ METHODE : Multiplier par la quantité conjuguée grâce à l'égalité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2(a−b)(a+b)=a2−b2 On a donc : 2n−2n−1\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1}2n −2n−1 = (2n−2n−1)(2n+2n−1) 2n+2n−1\frac{(\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n}+\sqrt{2n-1})}{ \sqrt{2n}+\sqrt{2n-1}} 2n +2n−1 (2n −2n−1 )(2n +2n−1 ) 2n−2n−1\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1}2n −2n−1 = 2n−2n+1 2n+2n−1\frac{2n - 2n +1}{ \sqrt{2n}+\sqrt{2n-1}} 2n +2n−1 2n−2n+1 2n−2n−1\sqr…
Comment lever la forme indéterminée 2n+25n−4\frac{2n+2}{5n-4}5n−42n+2 ?
C'est une FI du type ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ METHODE : Factoriser le terme prépondérant puis simplifier 2n+25n−4=n(2+2n)n(5−4n)\frac{2n+2}{5n-4}=\frac{n(2+\frac{2}{n})}{n(5-\frac{4}{n})}5n−42n+2=n(5−n4)n(2+n2) =2n+25n−4=2+2n5−4n=\frac{2n+2}{5n-4}=\frac{2+\frac{2}{n}}{5-\frac{4}{n}}=5n−42n+2=5−n42+n2 Ainsi on peut déterminer la limite par quotient qui sera 25\frac{2}{5}52
Quelle est la limite de la suite (un)(u_n)(un) définie par un=(−1)n u_n=(-1)^nun=(−1)n ?
(−1)n(-1)^n(−1)n n'a pas de limite.
Quelle est la limite de la suite (un)(u_n)(un) définie par un=(−1)2n u_n=(-1)^{2n}un=(−1)2n ?
(−1)2n=((−1)2)n(-1)^{2n}=((-1)^2)^n(−1)2n=((−1)2)n =1n=1=1^n=1=1n=1 Donc lim⁡n→+∞(−1)2n=1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(-1)^{2n}}=1n→+∞lim(−1)2n=1
Déterminer la limite lim⁡n→+∞32n7n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3^{2n}}{7^n}}n→+∞lim7n32n
32n7n=9n7n=(97)n\frac{3^{2n}}{7^n}=\frac{9^{n}}{7^n}=(\frac{9}{7})^n7n32n=7n9n=(79)n Donc lim⁡n→+∞32n7n=lim⁡n→+∞(97)n=+∞\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{3^{2n}}{7^n}}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(\frac{9}{7})^n}=+\inftyn→+∞lim7n32n=n→+∞lim(79)n=+∞ car 1"> 97>1\frac{9}{7} > 179>1
Déterminer la limite lim⁡n→+∞2n52n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{2^{n}}{5^{2n}}}n→+∞lim52n2n
2n52n=2n25n=(225)n\frac{2^{n}}{5^{2n}}=\frac{2^n}{25^n}=(\frac{2}{25})^n52n2n=25n2n=(252)n Donc lim⁡n→+∞2n52n=lim⁡n→+∞(225)n=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{2^{n}}{5^{2n}}}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{(\frac{2}{25})^n}=0n→+∞lim52n2n=n→+∞lim(252)n=0 car 225∈]−1;1[\frac{2}{25} \in ]-1;1[252∈]−1;1[
Que doit-on faire pour lever la forme indéterminée lim⁡n→+∞n3n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}{\frac{n^3}{\sqrt n}}n→+∞limn n3 ?
il suffit de simplifier l'expression n3n=n2×nn=\frac{n^3}{\sqrt n}=\frac{n^2 \times n}{\sqrt n}=n n3=n n2×n= n2×(n)2n=\frac{n^2 \times (\sqrt n)^2}{\sqrt n}=n n2×(n )2= n2×nn^2 \times \sqrt nn2×n
quand doit-on préciser le signe du "zéro" dans une limite ?
quand on a un quotient et que son dénominateur tend vers 0, alors on doit connaitre le signe du "zéro".