[CBPM] TSpé - CH1 - Suites - Arithmétique - Géométrique
Révisions Première
30 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
Quelle est la définition d'une suite arithmétique?
pour tout n∈N,un+1=un+rn \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+rn∈N,un+1=un+r où rrr est un nombre constant appelé raison
Quelle est la définition d'une suite géométrique?
pour tout n∈Nn \in \mathbb Nn∈N , un+1=q×unu_{n+1}=q \times u_nun+1=q×un où qqq est un nombre constant appelé raison
Quelle est l'expression de unu_nun en fonction de nnn pour une suite arithmétique?
si le premier terme est u0u_0u0 alors un=u0+nru_n=u_0+nrun=u0+nr si le premier terme est u1u_1u1 alors un=u1+(n−1)ru_n=u_1+(n-1)run=u1+(n−1)r sinon un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run=up+(n−p)r
Quelle est l'expression de unu_nun en fonction de nnn pour une suite géométrique?
si le premier terme est u0u_0u0 alors un=u0×qnu_n=u_0\times q^nun=u0×qn si le premier terme est u1u_1u1 alors un=u1×qn−1u_n=u_1\times q^{n-1}un=u1×qn−1 sinon un=up×qn−pu_n=u_p\times q^{n-p}un=up×qn−p
Quelles sont les différentes méthodes pour montrer qu'une suite est arithmétique?
Méthode 1 : Reconnaître l'expression explicite d'une suite arithmétique un=u0+nru_n=u_0 + nrun=u0+nr Remarque : Cela sera obligatoirement une expression affine du type an+ban+ban+b avec r=ar=ar=a et u0=bu_0=bu0=b Méthode 2 : Calculer la différence un+1−unu_{n+1}-u_nun+1−un et trouver un nombre CONSTANT qui sera la raison
Quelles sont les différentes méthodes pour montrer qu'une suite est géométrique?
Méthode 1 : Reconnaître l'expression d'une suite géométrique un=u0×qnu_n=u_0 \times q^nun=u0×qn Méthode 2: Exprimer un+1u_{n+1}un+1 en fonction de unu_nun et retrouver la définition d'une suite géométrique un+1=q×unu_{n+1}=q \times u_nun+1=q×un
En 2017, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un artiste était de 9000. On suppose que chaque année il obtient 1500 abonnés supplémentaires. unu_nun désigne le nombre d'abonnés en 2017+n2017+n2017+n pour tout entier naturel nnn Quelle est la nature de la suite (un)(u_n)(un) ? Justifier.
Comme chaque année le nombre d'abonnés augmente de 1500 abonnés. On a donc un+1=un+1500u_{n+1}=u_n+1500un+1=un+1500 Donc la suite (un)(u_n)(un) est arithmétique de raison 1500
En 2017, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un artiste était de 9000. On suppose que chaque année il obtient 30% d'abonnés supplémentaires. unu_nun désigne le nombre d'abonnés en 2017+n2017+n2017+n pour tout entier naturel nnn Quelle est la nature de la suite (un)(u_n)(un) ? Justifier.
Chaque année, le nombre d'abonnés augmente de 30% ce qui revient à multiplier par 1+30100=1,31+\frac{30}{100}=1,31+10030=1,3 On a donc un+1=1,3unu_{n+1}=1,3u_nun+1=1,3un Donc la suite (un)(u_n)(un) est géométrique de raison 1,3
Pour stocker des photos numériques, on utilise un algorithme de compression. On estime qu'à chaque compression, la taille diminue de 21,4%. La taille initiale d'une photo est 4 Mo. Pour tout entier naturel nnn , TnT_nTn désigne la taille de cette photo après nnn compressions Quelle est la nature de la suite (Tn)(T_n)(Tn) ? Justifier.
A chaque compression, la taille diminue de 21,4% ce qui revient à multiplier par 1−21,4100=0,7861-\frac{21,4}{100}=0,7861−10021,4=0,786 On a donc Tn+1=0,786Tn T_{n+1}=0,786 T_n Tn+1=0,786Tn Donc la suite (Tn)(T_n)(Tn) est géométrique de raison 0,786
la suite (un)(u_n)(un) est une suite arithmétique de raison -3 telle que u5=19u_5=19u5=19 . Déterminer u20u_{20}u20
un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run=up+(n−p)r donc u20=u5+(20−5)×(−3)u_{20}=u_5+(20-5)\times(-3)u20=u5+(20−5)×(−3) u20=19+15×(−3)u_{20}=19+15\times(-3)u20=19+15×(−3) u20=19−45u_{20}=19-45u20=19−45 u20=−26u_{20}=-26u20=−26
la suite (un)(u_n)(un) est une suite arithmétique de raison -3 telle que u5=19u_5=19u5=19 . Déterminer u0u_{0}u0
un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run=up+(n−p)r donc u0=u5+(0−5)×(−3)u_{0}=u_5+(0-5)\times(-3)u0=u5+(0−5)×(−3) u0=19−5×(−3)u_{0}=19-5\times(-3)u0=19−5×(−3) u0=19+15u_{0}=19+15u0=19+15 u0=46u_{0}=46u0=46
la suite (un)(u_n)(un) est une suite arithmétique telle que u5=19u_5=19u5=19 et u11=1u_{11}=1u11=1 . Déterminer sa raison r
un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run=up+(n−p)r donc u11=u5+(11−5)ru_{11}=u_5+(11-5)ru11=u5+(11−5)r 1=19+6r1=19+6r1=19+6r −18=6r-18=6r−18=6r r=−3r=-3r=−3
la suite (un)(u_n)(un) est une suite géométrique de raison 3 telle que u7=54u_7=54u7=54 . Calculer u9u_9u9
un=up×qn−pu_n=u_p\times q^{n-p}un=up×qn−p u9=u7×q2u_9=u_7\times q^2u9=u7×q2 u9=54×32u_9=54\times 3^2u9=54×32 u9=486u_9=486u9=486
la suite (un)(u_n)(un) est une suite géométrique de raison 3 telle que u7=54u_7=54u7=54 . Calculer u0u_0u0
un=up×qn−pu_n=u_p\times q^{n-p}un=up×qn−p Donc u0=u7×30−7u_0=u_7\times 3^{0-7}u0=u7×30−7 u0=54×3−7u_0=54\times 3^{-7}u0=54×3−7 u0=54×137u_0=54\times \frac{1}{3^7}u0=54×371 u0=542187u_0=\frac{54}{2187}u0=218754 u0=281u_0=\frac{2}{81}u0=812
la suite (un)(u_n)(un) est une suite géométrique telle que u6=2u_6=2u6=2 et u9=54u_9=54u9=54 . Déterminer sa raison qqq
un=up×qn−pu_n=u_p\times q^{n-p}un=up×qn−p Donc u9=u6×q3u_9=u_6\times q^3u9=u6×q3 54=2×q354=2\times q^354=2×q3 q3=542q^3=\frac{54}{2}q3=254 q3=27q^3=27q3=27 q=273q=\sqrt[3]{27}q=327 q=3q=3q=3
On considère la suite (un)(u_n)(un) telle que u0=−2u_0=-2u0=−2 et un+1=13un+2u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2un+1=31un+2 . On considère la suite (vn)(v_n)(vn) telle que vn=un−3v_n=u_n-3vn=un−3 . Montrer que (vn)(v_n)(vn) est une suite géométrique.
Etape 1 : vn+1v_{n+1}vn+1 en fonction de la suite u. vn+1=un+1−3v_{n+1}=u_{n+1}-3vn+1=un+1−3 Etape 2 : Utiliser la relation de récurrence pour remplacer un+1u_{n+1}un+1 vn+1=13un+2−3v_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2-3vn+1=31un+2−3 vn+1=13un−1v_{n+1}=\frac{1}{3}u_n-1vn+1=31un−1 Etape 3 : Factoriser le "bon" coefficient devant unu_nun vn+1=13(un−113)v_{n+1}=\frac{1}{3} \left(u_n-\frac{1}{\frac{1}{3}}\right)vn+1=31(un−311) vn+1=13(un−3)v_{n+1}=\frac{1}{3}(u_n-3)vn+1=31(un−3) Etape 4 : Re…
On considère la suite (un)(u_n)(un) telle que u0=0u_0=0u0=0 et un+1=3un−4un−1u_{n+1}=\frac{3u_n-4}{u_n-1}un+1=un−13un−4 . On considère la suite (vn)(v_n)(vn) telle que vn=1un−2v_n=\frac{1}{u_n-2}vn=un−21 . Montrer que (vn)(v_n)(vn) est une suite arithmétique.
Etape 1 : Exprimer vn+1−vnv_{n+1}-v_nvn+1−vn en fonction de la suite uuu vn+1−vn=1un+1−2−1un−2v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_{n+1}-2}-\frac{1}{u_n-2}vn+1−vn=un+1−21−un−21 Etape 2 : Utiliser la relation de récurrence pour remplacer un+1u_{n+1}un+1 vn+1−vn=13un−4un−1−2−1un−2v_{n+1}-v_n=\frac{1}{\frac{3u_n-4}{u_n-1}-2}-\frac{1}{u_n-2}vn+1−vn=un−13un−4−21−un−21 Etape 3 : Calculer vn+1−vn=un−1un−2−1un−2v_{n+1}-v_n=\frac{u_n-1}{u_n-2}-\frac{1}{u_n-2}vn+1−vn=un−2un−1−un−21 vn+1−vn=un−2…
Combien de termes comporte la somme S=up+...+unS=u_p+...+u_nS=up+...+un ?
S comporte n−p+1n-p+1n−p+1 termes
Combien de termes comporte la somme S=u0+u1+...+u12S=u_0+u_1+...+u_{12}S=u0+u1+...+u12 ?
S comporte 12−0+1=1312-0+1=1312−0+1=13 termes
Combien de termes comporte la somme S=u5+u6+...+u20S=u_5+u_6+...+u_{20}S=u5+u6+...+u20 ?
S comporte 20−5+1=1620-5+1=1620−5+1=16 termes
Quelle est la somme des premiers entiers de 1 à nnn ?
1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}1+2+...+n=2n(n+1)
Calculer la somme S=1+2+...+2019+2020S=1+2+...+2019+2020S=1+2+...+2019+2020
SSS est la somme des entiers de 1 à 2020 Donc S=2020×20212S=\frac{2020\times 2021}{2}S=22020×2021 Donc S=2 041 210
Quelle est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique?
S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\mathrm{nombre\; de\; termes}) \times \frac{\mathrm{(premier\: terme\: +\: dernier\: terme)}}{2}S=(nombredetermes)×2(premierterme+dernierterme) up+up+1+...+un=(n−p+1)×up+un2u_p+u_{p+1}+...+u_n=(n-p+1)\times \frac{u_p+u_n}{2}up+up+1+...+un=(n−p+1)×2up+un
la suite (un)(u_n)(un) est une suite arithmétique de raison −3-3−3 telle que u2=28u_2=28u2=28 . Déterminer la somme S=u2+u3+...+u20S=u_2+u_3+...+u_{20}S=u2+u3+...+u20
S est la somme de 20−2+1=1920-2+1=1920−2+1=19 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison −3-3−3 Donc S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\mathrm{nombre\; de\; termes}) \times \frac{\mathrm{(premier\: terme\: +\: dernier\: terme)}}{2}S=(nombredetermes)×2(premierterme+dernierterme) S=19×u2+u202S=19\times \frac{u_2+u_{20}}{2}S=19×2u2+u20 Or un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run=up+(n−p)r u20=u2+(20−2)×(−3)u_{20}=u_2+(20-2) \times(-3)u20=u2+(20−2)×(−3) u20=28+18×(−3)u_…
Calculer la somme S=347+348+...+2019+2020S=347+348+...+2019+2020S=347+348+...+2019+2020
S est la somme des 2020−347+1=16742020-347+1=16742020−347+1=1674 termes d'une suite arithmétique de raison 1. Donc S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\mathrm{nombre\; de\; termes}) \times \frac{\mathrm{(premier\: terme\: +\: dernier\: terme)}}{2}S=(nombredetermes)×2(premierterme+dernierterme) S=1674×347+20202S=1674 \times \frac{347+2020}{2}S=1674×2347+2020 S=1981179S=1981179S=1981179
Combien vaut la somme des premières puissances de qqq , 1+q+q²+...+qn1+q+q²+...+q^n1+q+q²+...+qn ?
1+q+q²+...+qn=1−qn+11−q1+q+q²+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}1+q+q²+...+qn=1−q1−qn+1
Calculer la somme S=1+2+2²+...+211S=1+2+2²+...+2^{11}S=1+2+2²+...+211
S est la somme des premières puissances de 2. Donc S=1−2121−2S=\frac{1-2^{12}}{1-2}S=1−21−212 Donc S=4095S=4095S=4095
Quelle est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique?
S=(premier terme)×1−qnombre de termes1−qS=(\mathrm{premier\; terme}) \times \frac{1-q^{\mathrm{nombre\; de\; termes}}}{1-q}S=(premierterme)×1−q1−qnombredetermes up+...+un=up×1−qn−p+11−qu_p+...+u_n=u_p \times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}up+...+un=up×1−q1−qn−p+1
la suite (un)(u_n)(un) est une suite géométrique de raison −3-3−3 telle que u2=5u_2=5u2=5 . Déterminer la somme S=u2+u3+...+u10S=u_2+u_3+...+u_{10}S=u2+u3+...+u10
S est la somme de 10−2+1=910-2+1=910−2+1=9 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison −3-3−3 en commençant à u2u_2u2 Donc S=(premier terme)×1−qnombre de termes1−qS=(\mathrm{premier\; terme}) \times \frac{1-q^{\mathrm{nombre\; de\; termes}}}{1-q}S=(premierterme)×1−q1−qnombredetermes S=u2×1−q91−qS=u_2\times \frac{1-q^9}{1-q}S=u2×1−q1−q9 S=5×1−(−3)91+3S=5\times \frac{1-(-3)^9}{1+3}S=5×1+31−(−3)9 ainsi S=24605S=24605S=24605
Quelle est la nature de la suite u définie par un=73nu_n=\frac{7}{3^n}un=3n7 ?
Géométrique de premier terme u0=7u_0=7u0=7 et de raison 13\frac{1}{3}31 car un=7×13nu_n=7 \times \frac{1}{3^n}un=7×3n1 = 7×(13)n7 \times (\frac{1}{3})^n7×(31)n =u0×qn=u_0 \times q^n=u0×qn