[CBPM] TSpé - CH4 - Suites - CV - DV
23 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
Traduire mathématiquement : La suite (un)(u_n)(un) minorée par 5 ?
pour tout n∈N,un≥5n \in \mathbb{N}, u_n \geq 5n∈N,un≥5
Quelle est la définition d'une suite (un)(u_n)(un) majorée par 5 ?
pour tout n∈N,un≤5n \in \mathbb{N}, u_n \leq 5n∈N,un≤5
Donner des exemples de suites qui n'ont pas de limite ?
un=(−1)nu_n=(-1)^nun=(−1)n ou un=cos(n)u_n=\cos(n)un=cos(n) ...
On sait que ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , 0≤un≤un+1≤50 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 50≤un≤un+1≤5 Que peut-on en déduire pour la suite (un)(u_n)(un) ?
On peut dire que la suite (un)(u_n)(un) est : croissante car un≤un+1 u_n \leq u_{n+1}un≤un+1 minorée par 0 car 0≤un0 \leq u_n0≤un majorée par 5 car un≤5u_n \leq 5un≤5 De plus, Comme la suite est croissante et majorée par 5, on peut aussi en déduire (d'après le théorème de convergence monotone) qu'elle converge vers LLL avec 0≤L≤50 \leq L \leq 50≤L≤5
Quelle est la définition d'une suite convergente ?
C'est une suite qui A une limite FINIE
Combien de façon existe-t-il de diverger ?
2 façons : soit la suite n'a pas de limite soit la suite a une limite infinie ( +∞+\infty+∞ ou −∞-\infty−∞ )
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est croissante et majorée par 5
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , un≤un+1u_n \leq u_{n+1}un≤un+1 ≤5\leq 5≤5
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est décroissante.
∀n∈N \forall n \in \mathbb{N} ∀n∈N , un≥un+1u_n \geq u_{n+1}un≥un+1
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est croissante.
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , un≤un+1u_n \leq u_{n+1}un≤un+1
On sait que ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , −1≤un+1≤un≤10 -1 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 10−1≤un+1≤un≤10 Que peut-on en déduire pour la suite (un)(u_n)(un) ?
On peut dire que la suite (un)(u_n)(un) est : décroissante car un+1≤unu_{n+1} \leq u_n un+1≤un un≤un+1 u_n \leq u_{n+1}un≤un+1 minorée par -1 car −1≤un-1 \leq u_n −1≤un 0≤un0 \leq u_n0≤un majorée par 10 car un≤10 u_n \leq 10un≤10 un≤5u_n \leq 5un≤5 De plus, Comme la suite est décroissante et minorée par -1, on peut aussi en déduire (d'après le théorème de convergence monotone) qu'elle converge vers LLL avec −1≤L≤10-1 \leq L \leq 10−1≤L≤10
Quel théorème permet de montrer qu'une suite converge sans avoir sa limite ?
Le théorème de convergence monotone Il y a 2 cas possibles : Si une suite est croissante et majorée par MMM Alors elle converge vers L≤ML \leq ML≤M Si une suite est décroissante et minorée par mmm Alors elle converge vers L≥mL \geq mL≥m
Quelle est la définition d'une suite divergente ?
C'est une suite qui ne converge pas
Est-ce qu'une suite qui a une limite converge ?
Non si sa limite est infinie.
Est-ce qu'une suite est soit convergente ou soit divergente ?
Oui car diverger c'est le contraire de converger.
Traduire mathématiquement la suite (un)(u_n)(un) est décroissante et minorée par 5
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N , 5≤un+1≤un5\leq u_{n+1} \leq u_n5≤un+1≤un
Dans quel cas doit-on utiliser le théorème du point fixe pour déterminer la limite d'une suite récurrente?
Si on sait DEJA que la suite CONVERGE
Comment montrer qu'une suite est convergente?
Il y a 2 méthodes : *Soit on trouve sa limite et elle est FINIE *Soit on utilise l'un des 2 théorèmes de convergence monotone ci-dessous : -Si une suite est croissante et majorée par M alors elle converge vers une limite L≤ML\leq ML≤M -Si une suite est décroissante et minorée par m alors elle converge vers une limite L≥mL\geq mL≥m
Quelle est la définition d'une suite convergente?
C'est une suite qui admet une limite FINIE
De combien de façons une suite peut-elle diverger?
de 2 façons : *Soit la suite a une limite infinie *Soit la suite N'A PAS de limite comme par exemple , un=(−1)nu_n=(-1)^nun=(−1)n ou un=cosnu_n=\cos{n}un=cosn ou un=sin(n−10)u_n=\sin{(n-10)}un=sin(n−10)
Quelle est la définition d'une suite divergente?
C'est une suite qui ne converge pas
Une suite qui tend vers −∞- \infty−∞ est-elle décroissante ?
Non pas forcément. Elle peut ne pas être monotone. Par exemple :
Une suite croissante est-elle divergente vers +∞+ \infty+∞ ?
Non pas forcément Donc Faux ! En effet il suffit qu'il soit majorée pour qu'elle converge.
Une suite non majorée peut-elle converger ?
Non c'est un théorème. Une suite non majorée diverge vers +∞+ \infty+∞ .