[CBPM] TSpé - CH2 - Loi Binomiale

29 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

  1. Comment reconnaître qu'une variable aléatoire X suit une loi Binomiale ?

    on doit avoir : * REPETITION de façon IDENTIQUE et INDEPENDANTE d'une épreuve de Bernoulli * X qui compte le nombre de SUCCES dans ce schéma de Bernoulli

  2. Quelle est la notation mathématique de: X suit une loi binomiale de paramètres n et p ?

    X⇝B(n;p)X \leadsto B(n;p)X⇝B(n;p)

  3. Pour une loi binomiale, quelle est la formule de l'espérance E(X)?

    E(X)=n×pE(X)=n\times pE(X)=n×p

  4. Comment s'interprète l'espérance d'une variable aléatoire X ?

    L'espérance d'une variable aléatoire X s'interprète comme la moyenne de X

  5. Pour une loi binomiale, quelle est la formule de la variance ?

    la variance V(X)=n×p×(1−p)V(X)=n\times p \times (1-p)V(X)=n×p×(1−p)

  6. Quelle est la formule de l'écart-type ?

    l'écart type σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}σ(X)=V(X) ​

  7. Comment calcule t-on (nk)\binom{n}{k}(kn​) ?

    Méthode 1 : avec la formule (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​ Méthode 2 : à la calculatrice On utilise la fonction * combinaison *n nCr k pour les TI

  8. Pour une loi Binomiale, comment calcule t-on P(X=k)P(X=k)P(X=k) ?

    Méthode 1 : avec la formule P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn​)×pk×(1−p)n−k Méthode 2 : à la calculatrice On utilise la fonction *BinomFdp(n,p,k) pour TI *Bpd(k,n,p) pour Casio

  9. Pour une loi Binomiale, comment calcule t-on P(X≤k)P(X\leq k)P(X≤k) ?

    Méthode 1 : en additionnant toutes les probabilités P(X≤k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)P(X\leq k)= P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)P(X≤k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k) puis appliquer à chaque fois la formule de P(X=k)P(X=k)P(X=k) Remarque : Cela peut être long selon le nombre de termes de la somme Méthode 2 : à la calculatrice On utilise la fonction : *BinomFRép(n,p,k) pour TI *Bcd(k,n,p) pour Casio

  10. Pour une loi Binomiale, comment calcule t-on P(X<k)P(X \mathrm{<} k)P(X<k) ?

    Méthode 1 : en additionnant toutes les probabilités P(X<k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k−1)P(X\mathrm{<} k)= P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k-1)P(X<k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k−1) puis appliquer à chaque fois la formule de P(X=k)P(X=k)P(X=k) Remarque : Cela peut être long selon le nombre de termes de la somme Méthode 2 : à la calculatrice On doit d'abord se ramener à une probabilité que la calculatrice sait faire c'est à dire P(X≤k)P(X\leq k)P(X≤k) : P(X<k)=P(X≤k−1)P(X\mathrm{<} k)=P(X\leq k-1)P(X<k)=P(X≤k−1) p…

  11. Dans une loi Binomiale, comment calcule t-on P(X≥k)P(X\geq k)P(X≥k) ?

    Méthode 1 : en additionnant toutes les probabilités P(X≥k)=P(X=k)+...+P(X=n)P(X\geq k)= P(X=k)+...+P(X=n)P(X≥k)=P(X=k)+...+P(X=n) puis appliquer à chaque fois la formule de P(X=k)P(X=k)P(X=k) Remarque : Cela peut être long selon le nombre de termes de la somme Méthode 2 : à la calculatrice On utilise la formule du contraire pour se ramener à une probabilité que la calculatrice sait calculer P(X=k)P(X=k)P(X=k) ou P(X≤k)P(X \leq k)P(X≤k) ainsi P(X≥k)=1−P(X≥k‾)P(X\geq k)=1-P( \overline{X \geq k})P…

  12. Pour une loi Binomiale, comment calcule t-on k)"> P(X>k)P(X>k)P(X>k) ?

    Méthode 1 : en additionnant les probabilités $P(X>k)=P(X=k+1)+...+P(X=n)$ puis appliquer à chaque fois la formule de $P(X=k)$ Cela peut être long selon le nombre de termes de la somme Méthode 2 : à la calculatrice On utilise la formule du contraire pour se ramener à une probabilité que la calculatrice sait calculer P(X=k)P(X=k)P(X=k) ou P(X≤k)P(X \leq k)P(X≤k) ainsi k)=1-P( \overline{X>k})"> P(X>k)=1−P(X>k‾)P(X>k)=1-P( \overline{X>k})P(X>k)=1−P(X>k​) k)=1-P(X\leq k)"> P(X>k)=1−P(X≤k)P(X>k)=1-P(…

  13. Comment s'appelle une expérience aléatoire comportant 2 issues seulement ?

    une épreuve de Bernoulli

  14. Une urne contient 10 boules blanches et 6 boules noires. On pioche 5 fois de suite une boule de l'urne que l'on remet. On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées. La variable X suit-elle une loi Binomiale? Si oui préciser ces paramètres.

    Oui X suit une loi Binomiale B(5;58)B(5;\frac{5}{8})B(5;85​) car X compte le nombre de succès (obtenir une boule blanche) dans le schéma de Bernoulli obtenu par la répétition de 5 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès a pour probabilité p=1016=58p=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}p=1610​=85​

  15. Une urne contient 10 boules blanches et 6 boules noires. On pioche 5 fois de suite une boule de l'urne que l'on remet. On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées. La variable X suit-elle une loi Binomiale? Si oui préciser ces paramètres.

    Oui X suit une loi Binomiale B(5;38)B(5;\frac{3}{8})B(5;83​) car X compte le nombre de succès (obtenir une boule noire) dans le schéma de Bernoulli obtenu par la répétition de 5 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès a pour probabilité p=616=38p=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}p=166​=83​

  16. Une urne contient 10 boules blanches et 6 boules noires. On pioche 5 fois de suite une boule de l'urne que l'on ne remet pas. On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées. La variable X suit-elle une loi Binomiale? Si oui préciser ces paramètres.

    Non car les tirages ne sont pas identiques.

  17. Une urne contient 10 boules blanches et 6 boules noires. On pioche 5 fois de suite une boule de l'urne que l'on ne remet pas. On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées. La variable X suit-elle une loi Binomiale? Si oui préciser ces paramètres.

    Non car les tirages ne sont pas identiques.

  18. Une urne contient 10 boules blanches et 6 boules noires. On pioche une boule de l'urne que l'on remet. On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués jusqu'à la première boule blanche. La variable X suit-elle une loi Binomiale? Si oui préciser ces paramètres.

    Non car X ne compte pas le nombre de succès bien que les épreuves de Bernoulli soient quand même identiques et indépendantes. En effet le succès est "la boule tirée est blanche" mais X compte le nombre de tirages jusqu'au premier succès et non le nombre de succès.

  19. Quelles sont les probabilités que la calculatrice permet de calculer ?

    P(X=k)P(X=k)P(X=k) et P(X≤k)P(X \leq k)P(X≤k)

  20. Que vaut (n0)\binom{n}{0}(0n​) ?

    (n0)=1\binom{n}{0}=1(0n​)=1

  21. Que vaut (n1)\binom{n}{1}(1n​) ?

    (n1)=n\binom{n}{1}=n(1n​)=n

  22. Que vaut (nn)\binom{n}{n}(nn​) ?

    (nn)=1\binom{n}{n}=1(nn​)=1

  23. Sur quelle valeur est à peu près centré le diagramme représentant une loi Binomiale ?

    sur E(X)E(X)E(X)

  24. On considère une variable X qui suit une loi Binomiale B(10;0,2)B(10;0,2)B(10;0,2) . Quelles sont les différentes façons de calculer P(X≥8)P(X \geq 8)P(X≥8) ?

    2 méthodes : directement en additionnant toutes les probabilités P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)P(X \geq 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) puis calculatrice En passant par le contraire P(X≥8)=1−P(X<8)P(X \geq 8)=1 - P(X<8)P(X≥8)=1−P(X<8) P(X≥8)=1−P(X≤7)P(X \geq 8)=1-P(X \leq 7)P(X≥8)=1−P(X≤7) puis calculatrice

  25. Comment résoudre l'équation 0,1"> 0,8n>0,10,8^n > 0,10,8n>0,1 ?

    on utilise la fonction ln⁡\lnln \ln(0,1)"> ln⁡(0,8n)>ln⁡(0,1)\ln (0,8^n) > \ln(0,1)ln(0,8n)>ln(0,1) car la fonction ln⁡\lnln est strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[]0;+∞[ \ln(0,1)"> nln⁡(0,8)>ln⁡(0,1)n \ln(0,8) > \ln(0,1)nln(0,8)>ln(0,1) d'après une propriété de ln⁡\lnln n<ln⁡(0,1)ln⁡(0,8)n<\frac{\ln(0,1)}{\ln(0,8)}n<ln(0,8)ln(0,1)​ car ln⁡(0,8)<0\ln(0,8)<0ln(0,8)<0

  26. Quel est le plus petit réel nnn tel que \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,8)}"> n>ln⁡(0,1)ln⁡(0,8)n>\frac{\ln(0,1)}{\ln(0,8)}n>ln(0,8)ln(0,1)​ ?

    ln⁡(0,1)ln⁡(0,8)≈10,3\frac{\ln(0,1)}{\ln(0,8)} \approx 10,3ln(0,8)ln(0,1)​≈10,3 Donc le plus petit entier nnn qui convient est 11.

  27. Qu'est ce qu'une épreuve de Bernoulli ?

    C'est une épreuve ayant 2 issues seulement.

  28. Qu'est ce qu'un schéma de Bernoulli ?

    C'est la répétition de plusieurs épreuves de Bernoulli IDENTIQUES et INDEPENDANTES.

  29. Est-ce que toutes les variables aléatoires d'un schéma de Bernoulli suivent une loi Binomiale ?

    Non seulement celle qui compte le NOMBRE de SUCCES