[CB] (Term Spe) - Suites 1 : Récurrence et limites

11 flashcards · Mathematics · by Cecile Bertrand

Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?
Il permet de montrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0. Les 3 étapes du raisonnement : Initialisation : on montre que la propriété est vraie au rang initial n0 Hérédité : on montre que si la propriété est vraie pour un rang quelconque k alors elle est vraie au rang suivant k+1 Conclusion : la propriété étant initialisée à n0 et étant héréditaire, alors d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier n ≥ n0 Analogie avec une cascade de dominos : pour q…
Qu'est-ce qu'une suite croissante ? décroissante ? monotone ?
Suite croissante : " Chaque terme est supérieur au terme précédent " " Pour tout entier naturel n : un+1 ≥ un " Suite décroissante : " Chaque terme est inférieur au terme précédent " " Pour tout entier naturel n : un+1 ≤ un " Suite monotone = suite croissante ou décroissante
Comment étudier la monotonie d'une suite ?
1) En étudiant le signe de un+1 - un 2) En étudiant les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[ pour les suites explicites du type un = f (n) 3) Par récurrence 4) En comparant le quotient un+1 / un à 1 pour les suites à termes positifs
Quelle est la définition d'une suite convergente vers L ?
" Pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans cet intervalle " " ∀\forall∀ ε > 0 ∃\exists∃ n0 ∈\in∈ N\mathbf{N}N ∀\forall∀ n ≥ n0 un ∈\in∈ ]L - ε ; L + ε[ "
Quelle est la définition d'une suite qui diverge vers +∞ ? Quelle est la définition d'une suite qui diverge vers -∞ ?
" Pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A " " ∀\forall∀ A ∈\in∈ R\mathbf{R}R ∃\exists∃ n0 ∈\in∈ N\mathbf{N}N ∀\forall∀ n ≥ n0 un ≥ A " " Pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à A " " ∀\forall∀ A ∈\in∈ R\mathbf{R}R ∃\exists∃ n0 ∈\in∈ N\mathbf{N}N ∀\forall∀ n ≥ n0 un ≤ A "
Quelles sont les limites usuelles ?
lim⁡n→+∞n\lim_{n \to +\infty} nlimn→+∞n = lim⁡n→+∞n\lim_{n \to +\infty} nlimn→+∞n 2 = lim⁡n→+∞n\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}limn→+∞n = lim⁡n→+∞n\lim_{n \to +\infty} nlimn→+∞n k (k ≥1) = + ∞\infty∞ lim⁡n→+∞1n\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}limn→+∞n1 = lim⁡n→+∞1n2\lim_{n \to +\infty} \frac {1} {n^2}limn→+∞n21 = lim⁡n→+∞1n\lim_{n \to +\infty} \frac {1} {\sqrt{n}}limn→+∞n 1 = lim⁡n→+∞1nk\lim_{n \to +\infty} \frac {1} {n^k}limn→+∞nk1 (k ≥ 1) = 0
Quelles sont les 4 formes indéterminées ?
" ∞−∞\infty - \infty∞−∞ " ; " 0×∞0 \times \infty0×∞ " ; " ∞∞\frac {\infty} { \infty}∞∞ " ; " 00\frac {0} {0}00 "
Comment, justifier, pour chacune des 4 FI, que c'est bien une FI ?
" ∞−∞\infty - \infty∞−∞ " : lim⁡n→+∞(n−n)\lim_{n \to +\infty} (n - n)limn→+∞(n−n) = 0 et lim⁡n→+∞(2n−n)=+∞\lim_{n \to +\infty} (2n - n) = +\inftylimn→+∞(2n−n)=+∞ " 0×∞0 \times \infty0×∞ " : lim⁡n→+∞(1n×n)\lim_{ n\to +\infty} (\frac {1}{n} \times n)limn→+∞(n1×n) = 1 et lim⁡n→+∞(1n×n2)\lim_{n \to +\infty} (\frac {1}{n} \times n^2)limn→+∞(n1×n2) = + ∞\infty∞ " ∞∞\frac {\infty} { \infty}∞∞ " : lim⁡n→+∞(nn)\lim_{n \to +\infty} (\frac {n}{n})limn→+∞(nn) = 1 et lim⁡n→+∞(n2n)\lim_{n \to +\inft…
Comment lever une indétermination ?
" ∞−∞\infty - \infty∞−∞ " : on factorise par le terme de +haut degré ou on multiplie par l'expression conjuguée " 0×∞0 \times \infty0×∞ " : on développe " ∞∞\frac {\infty} { \infty}∞∞ " : on factorise par le terme de +haut degré ou on multiplie le dénominateur par l'expression conjuguée
Qu'est-ce que le théorème de comparaison ?
"Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite uuu sont supérieurs aux termes d'une suite vvv divergeant vers + ∞\infty∞ alors la suite uuu diverge vers + ∞\infty∞ " " ∃n0∈N\exists n_{0} \in \mathbb{N}∃n0∈N ∀n≥n0\forall n \ge n_{0}∀n≥n0 un≥vnu_{n} \ge v_{n}un≥vn et lim⁡n→+∞vn=+∞\lim_{n \to +\infty} v_{n} = +\inftylimn→+∞vn=+∞ ⇒\Rightarrow⇒ lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_{n} = +\inftylimn→+∞un=+∞ " "Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite uuu sont i…
Qu'est-ce que le théorème des gendarmes ?
"Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite uuu sont encadrés par les termes de deux suites qui convergent vers lll alors la suite uuu converge vers lll " " ∃n0∈\exists n_{0} \in ∃n0∈ N\mathbb{N}N ∀n≥n0\forall n\ge n_{0} ∀n≥n0 vn≤un≤wn v_{n} \le u_{n} \le w_{n} vn≤un≤wn et lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=l\lim_{n \to +\infty} v_{n} = \lim_{n \to +\infty} w_{n} = llimn→+∞vn=limn→+∞wn=l ⇒\Rightarrow⇒ lim⁡n→+∞un=l\lim_{n \to +\infty} u_{n} =llimn→+∞un=l "