Suites géométriques
8 flashcards · Mathematics · by Pascale FUCHS
Formule du terme général d'une suite géométrique?
Si le premier terme est u0u_0u0 , alors un=u0×qnu_n=u_0 \times q^nun=u0×qn (à adapter si le premier terme n'est pas u0u_0u0 , par exemple un=u1×qn−1u_n=u_1\times q^{n-1}un=u1×qn−1
Soit (un)(u_n)(un) géométrique de raison q=0,7q=0,7q=0,7 et de premier terme u0=50.u_0=50.u0=50. Calculer u9u_9u9
u9=u0×q9=50×0,79≃2u_9=u_0\times q^9=50\times 0,7^9\simeq 2u9=u0×q9=50×0,79≃2
Quelle suite pourrait-on utiliser pour modéliser la population d'une ville qui augmente chaque année de 3%?
une suite géométrique de raison q=1+3100=1,03q=1+\dfrac{3}{100}=1,03q=1+1003=1,03
Quelle suite pourrait-on utiliser pour modéliser la population d'une ville qui diminue chaque année de 2,7%?
une suite géométrique de raison q=1−2,7100=0,973q=1-\dfrac{2,7}{100}=0,973q=1−1002,7=0,973
Soit ( unu_nun ) définie par u0=90u_0=90 u0=90 et un+1=1,2un+15.u_{n+1}=1,2u_n+15.un+1=1,2un+15. On pose an=un+75a_n=u_n+75an=un+75 Montrer que (an)(a_n)(an) est géométrique. Donner sa raison, son premier terme. Exprimer ensuite ana_nan puis unu_nun en fonction de nnn
1ère étape: an+1=un+1+75a_{n+1}=u_{n+1}+75an+1=un+1+75 (d'après la définition de an)a_n)an) =1,2un+15+75=1,2u_n+15+75=1,2un+15+75 (relation de récurrence) =1,2un+90=1,2u_n+90=1,2un+90 =1,2(un+901,2)=1,2(u_n+\dfrac{90}{1,2})=1,2(un+1,290) on met 1,2 en facteur =1,2(un+75)=1,2(u_n+75)=1,2(un+75) =1,2an=1,2a_n=1,2an (on reconnait la définition de ana_nan ) La suite (an)(a_n)(an) est donc géométrique de raison q=1,2.q=1,2.q=1,2. Son premier terme est a0=u0+75=90+75=165.a_0=u_0+75=90+75=1…
Limite de la suite géométrique de raison q=0,88q=0,88 q=0,88 et de premier terme u0=14u_0=14u0=14 ?
On a un=14×0,88nu_n=14\times 0,88^nun=14×0,88n et limn→+∞0,88n=0\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}} 0,88^n=0n→+∞lim0,88n=0 puisque −1<0,88<1-1<0,88<1 −1<0,88<1 donc par opération sur les limites, (un)(u_n)(un) converge vers 0.
Limite de la suite géométrique de raison q=1,02q=1,02q=1,02 et de premier terme u0=−15u_0=-15u0=−15
On a un=−15×1,02nu_n=-15\times 1,02^nun=−15×1,02n et limn→+∞1,02n=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}1,02^n=+\inftyn→+∞lim1,02n=+∞ puisque 1."> 1,02>1.1,02>1.1,02>1. Dès lors, par opération sur les limites, limn→+∞un=−∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}u_n=-\inftyn→+∞limun=−∞