[CBPM] TSpé - F3 - Limites de Fonctions
57 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
Quelles sont les différentes méthodes pour déterminer la limite d’une fonction ?
Méthode 1 : Directement grâce aux opérations sur les limites et/ou la limite d'une fonction composée Méthode 2 : Théorème des gendarmes quand on connaît un encadrement de fonctions ET que LA LIMITE EST FINIE Méthode 3 : Un des 2 théorèmes de comparaison théorème de minoration quand la limite est +∞+\infty+∞ théorème de majoration quand la limite est −∞-\infty−∞
Quelles sont les 4 formes indéterminées des limites ?
1 FI pour la somme : +∞−∞+\infty - \infty+∞−∞ 1 FI pour le produit : ∞×0\infty \times 0∞×0 2 FI pour le quotient : 00\dfrac{0}{0}00 et ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}∞∞
Comment interpréter une limite graphiquement ?
Il faut parler d’asymptote à la courbe.
Combien y a-t-il de types d’asymptote à une courbe ? et lesquels sont-ils ?
2 types d’asymptotes : Les asymptotes verticales (d’équation x=x=x= constante) Les asymptotes horizontales (d’équation y=y=y= constante)
Comment interpréter limx→af(x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=+\inftyx→alimf(x)=+∞ ?
La courbe de fff admet une asymptote verticale d'équation x=ax=ax=a
Comment interpréter limx→+∞f(x)=L\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{f(x)}=Lx→+∞limf(x)=L ?
La courbe de fff admet une asymptote horizontale d'équation y=Ly=Ly=L au voisinage de +∞+\infty+∞
Comment interpréter limx→af(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=-\inftyx→alimf(x)=−∞ ?
La courbe de fff admet une asymptote verticale d'équation x=ax=ax=a
Comment interpréter limx→−∞f(x)=L\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}{f(x)}=Lx→−∞limf(x)=L ?
La courbe de fff admet une asymptote horizontale d'équation y=Ly=Ly=L au voisinage de −∞-\infty−∞
Comment lever une forme indéterminée avec des INFINI ?
Méthode 1 : Factoriser le terme PREPONDERANT (le terme de plus haut degré pour les polynômes ou l’exponentielle) Puis simplifier si possible les quotients de l'expression ou Méthode 2 : Si exe^xex ou lnx\ln xlnx Utiliser les croissances comparées Remarque : selon la forme de la fonction , il fau parfois : factoriser le terme prépondérant pour avoir exxn\frac{e^x}{x^n}xnex ou xnex\frac{x^n}{e^x}exxn ou lnxxn\frac{\ln x}{x^n}xnlnx ou xnlnx\frac{x^n}{\ln x}lnxxn ou développer pour avoir xne…
Comment fait-on la limite limx→af(g(x))\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(g(x))}x→alimf(g(x)) ?
limx→ag(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}x→alimg(x) =b=b=b Donc par composition limx→af(g(x))=limX→bf(X)=c\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(g(x))}=\lim\limits_{\substack{X \to b}}{f(X)}=cx→alimf(g(x))=X→blimf(X)=c
Quel théorème permet de déterminer limx→af(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}x→alimf(x) ? sachant que : g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ limx→ah(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{h(x)}=x→alimh(x)= −-− ∞\infty∞
On ne garde que la partie f(x)≤h(x)f(x)\leq h(x)f(x)≤h(x) d'après le théorème de comparaison par majoration limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −∞-\infty−∞
Quel théorème permet de déterminer limx→af(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}x→alimf(x) ? sachant que : g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= LLL limx→ah(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{h(x)}=x→alimh(x)= LLL
d'après le théorème des gendarmes limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL
Quel théorème permet de déterminer limx→af(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}x→alimf(x) ? sachant que : g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ limx→ah(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{h(x)}=x→alimh(x)= +++ ∞\infty∞
On ne garde que la partie f(x)≤h(x)f(x)\leq h(x)f(x)≤h(x) d'après le théorème de comparaison par minoration limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +∞+\infty+∞
Comment déterminer la limite d’une fonction s’il y a des expressions qui n’ont pas de limite comme par exemple cosx\cos xcosx ou sinx\sin xsinx ... ?
Encadrer l’expression n’ayant pas de limites En déduire un encadrement de la fonction par opération sur les inégalités Puis en déduire la limite par comparaison (gendarmes, minoration, ou majoration)
Quelle est la différence entre le théorème des gendarmes et les 2 théorèmes de comparaison (Minoration ou majoration) ?
Le théorème des GENDARMES ne s'utilise QUE pour des limites FINIES Les théorèmes de COMPARAISON ne s'utilisent QUE pour des limites INFINIES
quand doit-on préciser le signe du "zéro" dans une limite ?
quand on a un quotient et que son dénominateur tend vers 0, alors on doit connaitre le signe du "zéro".
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) ?
limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) === +++ ∞\infty∞ par somme
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) ?
Forme Indéterminée
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) ?
limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) === −-− ∞\infty∞ par somme
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) ?
limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) === +++ ∞\infty∞ par somme
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) ?
limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) === −-− ∞\infty∞ par somme
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= L′L'L′ Que vaut limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) ?
limx→af(x)+g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)+g(x)}x→alimf(x)+g(x) === L+L′L+L'L+L′ par somme
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= L′L'L′ Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
limx→af(x)×g(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}=x→alimf(x)×g(x)= +++ ∞\infty∞ par produit
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= L′L'L′ Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) === LL′LL'LL′ par produit
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
limx→af(x)×g(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}=x→alimf(x)×g(x)= +++ ∞\infty∞ par produit
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 000 Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
FI
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
limx→af(x)×g(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}=x→alimf(x)×g(x)= +++ ∞\infty∞ par produit
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
limx→af(x)×g(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}=x→alimf(x)×g(x)= −-− ∞\infty∞ par produit
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 000 Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
FI
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0 Que vaut limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) ?
limx→af(x)×g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x) \times g(x)}x→alimf(x)×g(x) === 0 par produit
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= L′L'L′ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === LL′\dfrac{L}{L'}L′L par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
FI
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
FI
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= 000 et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === 000 par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0+0^+0+ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === +++ ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0−0^-0− Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === −-− ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= 000 et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 000 Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
FI
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= +++ ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === 000 par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= L<0L <0L<0 Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === −-− ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= +++ ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0"> L>0L>0L>0 Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === +++ ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0+0^+0+ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === −-− ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0−0^-0− Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === +++ ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
FI
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= L<0L<0L<0 Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === +++ ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= −-− ∞\infty∞ et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0"> L>0L>0L>0 Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === −-− ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= LLL et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= −-− ∞\infty∞ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === 000 par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= L<0L<0L<0 et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0+0^+0+ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === −-− ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= L<0L<0L<0 et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0−0^-0− Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === +++ ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= 0"> L>0L>0L>0 et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0−0^-0− Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === −-− ∞\infty∞ par quotient
On a limx→af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{f(x)}=x→alimf(x)= 0"> L>0L>0L>0 et limx→ag(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a}}{g(x)}=x→alimg(x)= 0+0^+0+ Que vaut limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) ?
limx→af(x)g(x)\lim\limits_{\substack{x \to a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}x→alimg(x)f(x) === +++ ∞\infty∞ par quotient
Que vaut limx→0xlnx\lim\limits_{\substack{x \to 0}}{x \ln{x}}x→0limxlnx ? Justifier.
limx→0xlnx=0\lim\limits_{\substack{x \to 0}}{x \ln{x}}= 0x→0limxlnx=0 par croissance comparées
Quelles sont les croissances comparées avec la fonction ln\lnln ?
Au voisinage de l’INFINI, la fonction l ln\lnln croit MOINS VITE que les fonctions puissances qui croient elles-mêmes moins vite que la fonction exp lnx<<xn<<ex\ln x << x^n << e^xlnx<<xn<<ex
Que vaut limx→+∞lnxx\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{\dfrac{\ln{x}}{x}}x→+∞limxlnx ? Justifier.
limx→+∞lnxx=0\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{\dfrac{\ln{x}}{x}}=0x→+∞limxlnx=0 par croissance comparées
Que vaut limx→+∞xlnx\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{x \ln{x}}x→+∞limxlnx ? Justifier.
limx→+∞xlnx=+∞\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{x \ln{x}}=+\inftyx→+∞limxlnx=+∞ par produit Remarque : Attention, ce n'est pas une FI donc on n'utilise pas les croissances comparées.
Que vaut limx→0lnxx\lim\limits_{\substack{x \to 0}}{\dfrac{\ln{x}}{x}}x→0limxlnx ? Justifier.
limx→0lnxx=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 0}}{\dfrac{\ln{x}}{x}}=-\inftyx→0limxlnx=−∞ par quotient
Que vaut limx→0xlnx\lim\limits_{\substack{x \to 0}}{\dfrac{x}{\ln{x}}}x→0limlnxx ? Justifier.
limx→0xlnx=0\lim\limits_{\substack{x \to 0}}{\dfrac{x}{\ln{x}}}=0x→0limlnxx=0 par quotient
Que vaut limx→+∞xlnx\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{\dfrac{x}{\ln{x}}}x→+∞limlnxx ? Justifier.
limx→+∞xlnx=+∞\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}{\dfrac{x}{\ln{x}}}=+\inftyx→+∞limlnxx=+∞ par croissances comparées