[CBPM] TSpé - CH7 - Continuité
26 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
Comment visualiser la continuité sur un graphique ?
si on peut tracer le graphique sans lever le crayon
Comment voir la continuité dans un tableau de variation ?
Une flèche de variation traduit la continuité de la fonction sur cet intervalle.
Comment justifier la continuité sur un intervalle I sans tableau ni graphique ?
en disant que la fonction est continue sur I car dérivable sur I. car une propriété du cours dit que : Si une fonction est dérivable sur I Alors elle est continue sur I
Comment justifier la continuité en un réel aaa sans tableau ni graphique ?
limx→ax<af(x)\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}}{f(x)}x→ax<alimf(x) a}}{f(x)}"> =limx→ax>af(x)=\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x>a}}{f(x)}=x→ax>alimf(x)
A quoi sert la continuité d'une fonction ?
En terminale, la continuité sert pour : le théorème des valeurs intermédiaires pour déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=kf(x)=kf(x)=k le théorème du point fixe pour déterminer la limite d'une suite récurrente
Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Si une fonction fff est continue sur [a;b][a;b][a;b] Alors pour tout réel k compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b) l'équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k fff a au moins une solution dans [a;b][a;b][a;b]
Que permet de justifier le théorème des valeurs intermédiaires ? Est ce pratique ?
il permet de justifier qu'une équation du type f(x)=kf(x)=kf(x)=k admet au moins une solution dans un intervalle donné. MAIS ATTENTION Ce théorème n'est pas pratique car on ne sait pas exactement combien il y a de solutions.
Quel théorème permet de déterminer exactement le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k?f(x)=k ?f(x)=k?
le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires aussi appelé théorème de la bijection
Que dit le théorème de la bijection ?
Si une fonction fff est continue et strictement monotone sur [a;b][a;b][a;b] Alors pour tout réel k compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b) l'équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k fff a une unique solution dans [a;b][a;b][a;b]
comment utiliser le théorème de la bijection si la fonction fff n'est pas monotone sur I ?
● Découper l’intervalle I en plusieurs sous-intervalles sur lesquels l’équation a une solution ou aucune solution. ● Puis compter le nombre de solution sur chaque intervalle ● Conclure en donnant le nombre de solution sur I
Combien d'hypothèses faut-il pour utiliser le théorème de la bijection ?
3 conditions fff continue et strictement monotone sur I (strictement croissante ou strictement décroissante) kkk compris entre 2 images f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b)
Sur quels ensembles les fonctions usuelles sont-elles continues ?
sur leur ensemble de définition
Comment justifier que l’équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k a une seule solution ?
grâce au théorème de la bijection
Comment justifier que l’équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k N’A PAS de solution ?
On justifie grâce à un extremum : ● maximum ou minimum (si image donc valeur atteinte) ● majorant ou minorant (si limite donc valeur non atteinte)
Combien de solution(s) l'équation f(x)=2f(x)=2f(x)=2 a-t-elle sur ]−∞;5]]-\infty;5]]−∞;5] ? Justifier
Une seule car la fonction fff est continue et strictement décroissante (ou décroissante) sur ]−∞;5]]-\infty ; 5]]−∞;5] d’intervalle image [0;3[[0;3[[0;3[ contenant 222 Donc d’après le théorème de la bijection, l’équation f(x)=2f(x)=2f(x)=2 a une unique solution sur ]−∞;5]]-\infty ; 5]]−∞;5]
Combien de solution(s) l'équation f(x)=−2f(x)=-2f(x)=−2 a-t-elle sur ]−∞;5]]-\infty;5]]−∞;5] ? Justifier
aucune car 0 est le minimum de fff sur ]−∞;5]]-\infty ; 5]]−∞;5] Donc l'équation f(x)=−2f(x)=-2f(x)=−2 n'a pas de solution sur ]−∞;5]]-\infty ; 5]]−∞;5]
Combien de solution(s) l'équation f(x)=4f(x)=4f(x)=4 a-t-elle sur ]−∞;5]]-\infty;5]]−∞;5] ? Justifier
aucune car 3 est un majorant de fff sur ]−∞;5]]-\infty ; 5]]−∞;5] Donc l'équation f(x)=4f(x)=4f(x)=4 n'a pas de solution sur ]−∞;5]]-\infty ; 5]]−∞;5]
le théorème des valeurs intermédiaires et son corolaire le théorème de la bijection permettent-ils de déterminer les solutions de l'équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k ?
Non ils permettent simplement de compter le nombre de solutions mais pas de connaitre la valeurs de ces solutions.
Peut-on obtenir une valeur exacte de la solution α\alphaα trouvée avec le théorème de la bijection ?
NON on peut obtenir A LA CALCULATRICE seulement une valeur approchée ou un encadrement de α\alphaα
Quel est le seul renseignement EXACT que l’on peut avoir sur la solution α\alphaα de l’équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k ?
f(α)=kf(\alpha)=kf(α)=k
Comment utiliser la calculatrice ASTUCIEUSEMENT pour obtenir une valeur approchée ou un encadrement de la solution α\alphaα de l'équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k ?
On entre la fonction fff dans Y1 et kk k dans Y2 On demande le graph On demande le point d'intersection entre Y1 et Y2 α\alphaα est son abscisse Il ne reste plus qu'à donner la valeur approchée ou l'encadrement à la précision voulue
Déterminer une valeur approchée à 10−210^{-2}10−2 près de la solution α\alphaα de l'équation 12−x−e4−x=−312-x-e^{4-x}=-312−x−e4−x=−3
images à faire de la calculatrice on en déduit α≈\alpha \approxα≈ 1,391,391,39
Déterminer un encadrement à 10−310^{-3}10−3 près de la solution α\alphaα de l'équation lnx+2=0\ln x +2=0lnx+2=0
images à faire de la calculatrice on en déduit α≈\alpha \approxα≈
Quelle valeur approchée peut-on déduire de l'encadrement 1,4<α<1,51,4 < \alpha < 1,51,4<α<1,5 ?
α≈1\alpha \approx 1α≈1 Remarque : L'encadrement est à 0,1 près mais la valeur approché ne peut être qu'à l'unité et non au dixième comme l'encadrement car on ne sait pas si α\alphaα est plus proche de 1,4 ou de 1,5 Règle : Avec un encadrement à 10−n10^{-n}10−n près, on ne peut déduire qu'une valeur approchée avec la précision inférieure à 10−(n−1)10^{-(n-1)}10−(n−1)
Quelle valeur approchée peut-on déduire de l'encadrement 1,485<α<1,4861,485 < \alpha < 1,4861,485<α<1,486 ?
α≈1,49\alpha \approx 1,49α≈1,49 Remarque : L'encadrement est à 0,01 près mais la valeur approché ne peut être qu'à 0,1 près car on ne sait pas si α\alphaα est plus proche de 1,485 ou de 1,486 Règle : Avec un encadrement à 10−n10^{-n}10−n près, on ne peut déduire qu'une valeur approchée avec la précision inférieure à 10−(n−1)10^{-(n-1)}10−(n−1)
Comment justifier un encadrement de la solution de l'équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k ?
Etape 1 : encadrer k entre 2 images A l’aide d’un balayage à la calculatrice, on a : f(a)<k<f(b)f(a) < k < f(b)f(a)<k<f(b) Etape 2 : remplacer k par f(α)f(\alpha)f(α) pour avoir 3 images f(a)<f(α)<f(b)f(a) < f(\alpha) < f(b)f(a)<f(α)<f(b) Etape 3 : Utiliser les variations de la fonction fff pour obtenir l'encadrement des antécédents (2 cas possibles en fonction des variations de f ) a<α<ba < \alpha < ba<α<b car fff est strictement croissante sur I OU \alpha > b"> a>α>ba > \alpha > ba>α>b car ff…