[CBPM] TSpé - CH8 - Convexité

27 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de fff au point d'abscisse aaa ?
y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)y=f′(a)(x−a)+f(a)
Comment voit-on graphiquement avec la courbe de fff qu'une fonction est convexe sur I ?
quand sa courbe est au dessus de ces tangentes
Comment justifier graphiquement avec la courbe de fff qu'une fonction est concave sur I ?
quand sa courbe est en dessous de ces tangentes
Comment justifier graphiquement que la courbe d'une fonction admet un point d'inflexion ?
quand une tangente traverse la courbe
Que faut-il étudier sur fff pour étudier sa convexité ?
La position de sa courbe de fff par rapport à ces tangentes (souvent grâce au graphique)
Etudier la convexité d'une fonction signifie savoir si la fonction est convexe ?
FAUX Etudier la convexité signifie savoir si la fonction est convexe ou concave et sur quels intervalles ?
Une fonction est-elle forcément convexe ou concave ?
OUI sauf si elle est constante
Que faut-il étudier sur f′f'f′ pour étudier la convexité de fff ?
le sens de variation de f′f'f′ (souvent grâce au graphique ou au tableau de variation de f′f'f′ )
Que faut-il étudier sur f′′f''f′′ pour étudier la convexité de fff ?
le signe de f′′(x)f''(x)f′′(x) (souvent en dérivant 2 fois fff puis en étudiant le signe grâce à un tableau de signes )
Comment justifier qu'une fonction fff est convexe sur I grâce à sa dérivée f′f'f′ ?
Si f′f'f′ est croissante sur I Alors fff est convexe sur I
Comment justifier qu'une fonction fff est concave sur I grâce à sa dérivée f′f'f′ ?
Si f′f'f′ est décroissante sur I Alors fff est concave sur I
Comment justifier que la courbe d'une fonction fff admet un point d'inflexion grâce à sa dérivée f′f'f′ ?
Si f′f'f′ change de variations Alors la courbe de fff admet un point d'inflexion sur I
Comment justifier qu'une fonction fff est convexe sur I grâce à sa dérivée seconde f′′f''f′′ ?
Si f′′(x)f''(x)f′′(x) "> >>> 000 sur I Alors fff est convexe sur I
Comment justifier qu'une fonction fff est concave sur I grâce à sa dérivée seconde f′′f''f′′ ?
Si f′′(x)f''(x)f′′(x) <<< 000 sur I Alors fff est concave sur I
Comment justifier que la courbe d'une fonction fff admet un point d'inflexion grâce à sa dérivée seconde f′′f''f′′ ?
Si f′′f''f′′ change de signe en aaa Alors la courbe de fff admet un point d'inflexion au point d'abscisse aaa
Quelle est la meilleure méthode pour étudier la convexité de fff si on a seulement l'expression de f(x)f(x)f(x) ?
avec le signe de f′′(x)f''(x)f′′(x) Donc Calculer f′(x)f'(x)f′(x) puis f′′(x)f''(x)f′′(x) Puis étudier le signe de f′′(x)f''(x)f′′(x)
Quelle est la meilleure méthode pour étudier la convexité de fff si on a seulement un graphique ?
ATTENTION : il faut bien regarder si c'est le graphique de fff ou celui de f′f'f′ ou celui de f′′f''f′′ si graphique de fff , alors on regarde la position de la courbe par rapport aux tangentes si graphique de f′f'f′ , alors on regarde le sens de variation si graphique de f′′f''f′′ , on on regarde le signe (position de la courbe en dessous ou au dessus de l'axe des abscisses)
A quoi peut servir d'avoir étudier la convexité d'une fonction ?
A montrer une inégalité qui aura un lien avec la fonction et une tangente
Quelle inégalité peut-on déduire si une fonction est concave sur I ?
Que sa courbe est au dessus de ses tangentes Donc f(x)≥f′(a)(x−a)+f(a)f(x) \geq f'(a)(x-a)+f(a)f(x)≥f′(a)(x−a)+f(a) A appliquer avec une abscisse aaa choisie en fonction de la question posée.
Quelle inégalité peut-on déduire si une fonction est convexe sur I ?
Que sa courbe est en dessous de ses tangentes Donc f(x)≤f′(a)(x−a)+f(a)f(x) \leq f'(a)(x-a)+f(a)f(x)≤f′(a)(x−a)+f(a) A appliquer avec une abscisse aaa choisie en fonction de la question posée.
Comment peut-on interpréter le fait que la courbe de fff admet un point d'inflexion en I ?
en I, la vitesse de variation est un extremum (maximum ou minimum)
Que peut-on interpréter pour ce point d'inflexion ?
que la vitesse de CROISSANCE est MAXIMALE
Que peut-on interpréter pour ce point d'inflexion ?
que la vitesse de CROISSANCE est MINIMALE
Que peut-on interpréter pour ce point d'inflexion ?
que la vitesse de DECROISSANCE est MAXIMALE
Que peut-on interpréter pour ce point d'inflexion ?
que la vitesse de CROISSANCE est MINIMALE
Que peut-on interpréter pour ce point d'inflexion ?
que la vitesse de DECROISSANCE est MAXIMALE
Que peut-on interpréter pour ce point d'inflexion ?
que la vitesse de DECROISSANCE est MINIMALE