[CBPM] TSpé - CH12 - Equations diffrentielles

9 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

1. Quelles sont les 3 types d' équations différentielles que l'on doit savoir résoudre ?

   y′=ayy'=ayy′=ay y′=ay+by'=ay+by′=ay+b y′=ay+fy'=ay+fy′=ay+f

2. Quelle est la solution générale de y′=ayy'=ayy′=ay ?

   x↦Ceax,C∈Rx \mapsto C e^{ax} , C \in \mathbb Rx↦Ceax,C∈R

3. Quelle est la solution générale de y′=ay+by'=ay+by′=ay+b ?

   x↦Ceax−ba,C∈Rx \mapsto C e^{ax} -\frac{b}{a} , C \in \mathbb Rx↦Ceax−ab​,C∈R

4. Quelle est la solution générale de y′=ay+fy'=ay+fy′=ay+f ?

   C'est la somme de la solution générale de y′=ayy'=ayy′=ay et d'une solution particulière de y′=ay+fy'=ay+fy′=ay+f Donc x↦Ceax+u(x),C∈Rx \mapsto C e^{ax} +u(x) , C \in \mathbb Rx↦Ceax+u(x),C∈R et uuu solution particulière de y′=ay+fy'=ay+fy′=ay+f

5. Que signifie le mot "particulière" dans uuu est une solution particulière d'une équation différentielle ?

   cela signifie juste que uuu est une solution mais qu'il y en a d'autres

6. Comment montrer qu'une fonction uuu est une solution de l'équation différentielle ?

   il faut : calculer u′u'u′ calculer séparément les 2 membres de l'équation différentielle en remplaçant yyy par uuu et y′y'y′ par u′u'u′ constater que les 2 membres sont égaux Conclure que uuu est solution de l'équation différentielle

7. Comment trouver des inconnues (a,b,c,..)(a,b,c,..)(a,b,c,..) contenues dans une fonction uuu telle que uuu soit solution d'une équation différentielle ?

   Il faut : calculer u′u'u′ utiliser l'équation différentielle comme une équation en remplaçant yyy par uuu et y′y'y′ par u′u'u′ (il y aura donc 1 équation avec les inconnues a,b,c,...a,b,c,...a,b,c,... et la variable xxx si besoin regrouper certains termes de même degré en factorisant afin de faire une IDENTIFICATION pour avoir des mini-équations sans la variable xxx résoudre les mini-équations obtenues pour trouver les inconnues a,b,c...a,b,c...a,b,c...

8. Combien il y a-t-il de solution pour une équation différentielle ?

   une infinité

9. A quelle condition une équation différentielle admet-elle une unique solution ?

   Si on connait une condition sur la fonction qui vérifie l'équation différentielle (appelée condition intiale) par exemple une image