[CBPM] TSpé - CH12 - Primitives

38 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

Comment montrer qu’une fonction FFF est une primitive d’une fonction fff sur un intervalle I ?
En dérivant FFF pour trouver fff F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)
Comment justifier qu’une fonction fff admet des primitives ?
Il suffit de montrer que fff est continue sur I.
Une fonction fff admet-elle plusieurs primitives ?
Oui une infinité
De quelle forme sont toutes les primitives d’une fonction fff dont on connaît déjà une primitive FFF ?
les primitives de fff sur I sont toutes les fonctions du type x⟼F(x)+kx \longmapsto F(x)+kx⟼F(x)+k avec kk k réel
Que faut-il connaître pour avoir unicité de la primitive d’une fonction ?
Il faut connaître une condition initiale (la valeur de la primitive en un point)
Comment déterminer l’unique primitive FFF d’une fonction connaissant une condition initiale F(x0)=y0F(x_0)=y_0F(x0)=y0 ?
2 étapes : ● On détermine d’abord la forme de TOUTES les primitives de fff sur I. on écrit alors F(x)=...+kF(x)=...+kF(x)=...+k avec kkk réel ● Puis on détermine kkk en résolvant une équation grâce à la condition initiale F(x0)=y0F(x_0)=y_0F(x0)=y0
Quelles sont les 2 propriétés de linéarité des primitives ?
On note FFF et GGG les primitives des fonctions fff et ggg sur I. Primitive d’un produit d’un REEL k par une fonction : une primitive de kfkfkf est kFkFkF Primitive d’une somme de fonctions : une primitive de f+gf+gf+g est F+GF+GF+G
Comment déterminer une primitive d’une fonction ?
● On utilise les propriétés de linéarité des primitives en déterminant la forme de la fonction à primitiver : soit kfkfkf soit f+gf+gf+g ● Puis on détermine les primitives FFF et GGG grâce aux primitives des fonctions usuelles ou aux primitives des fonctions composées
Comment déterminer une primitive d’un PRODUIT ou d’un QUOTIENT de 2 fonctions ?
POSSIBLE QUE SI l’une des 2 fonctions est la DERIVEE de l’autre (ou un multiple ou une proportion) Trouver la fonction u, calculer u’ Puis on utilise une formule sur les primitives d’une fonction composée.
Quelle est une primitive de la fonction constante x⟼x \longmapsto x⟼ 111 ?
xxx
Quelle est une primitive de la fonction constante x⟼x \longmapsto x⟼ kkk ?
kkk xxx
Quelle est une primitive de la fonction x⟼x \longmapsto x⟼ xnx^nxn ?
xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}n+1xn+1
Quelle est une primitive de la fonction x⟼x \longmapsto x⟼ exe^xex ?
exe^xex
Quelle est une primitive de la fonction x⟼x \longmapsto x⟼ 1x\dfrac{1}{x}x1 ?
ln⁡x\ln xlnx
Quelle est une primitive de la fonction x⟼x \longmapsto x⟼ 1x\dfrac{1}{\sqrt x}x 1 ?
2x2 \sqrt x2x
Quelle est une primitive de la fonction x⟼x \longmapsto x⟼ cos⁡x\cos xcosx ?
sin⁡x\sin xsinx
Quelle est une primitive de la fonction x⟼x \longmapsto x⟼ sin⁡x\sin xsinx ?
−cos⁡x- \cos x−cosx
Peut-on trouver une primitive de la fonction eue^ueu ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′u'u′ eue^ueu ?
oui c'est eue^ueu
Pour pouvoir primitiver une fonction composée, que doit-on avoir ?
Il faut que la fonction à primitiver contienne soit une multiplication par u′u'u′ ou soit que l’on puisse faire apparaitre u′u'u′ grâce à la linéarité si u′u'u′ est une constante !
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′unu' u^nu′un ?
oui c'est un+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}n+1un+1
Peut-on trouver une primitive de la fonction unu^nun ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction 1u\dfrac{1}{u}u1 ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′u\dfrac{u'}{u}uu′ ?
oui c'est ln⁡∣u∣\ln |u|ln∣u∣
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′u\dfrac{u'}{\sqrt u}u u′ ?
oui c'est 2u2 \sqrt u2u
Peut-on trouver une primitive de la fonction 1u\dfrac{1}{\sqrt u}u 1 ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction cos⁡u\cos ucosu ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′sin⁡uu' \sin uu′sinu ?
oui c'est −cos⁡u- \cos u−cosu
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′u'u′ cos⁡u\cos ucosu ?
sin⁡u\sin usinu
Peut-on trouver une primitive de la fonction sin⁡u\sin usinu ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction 1un\dfrac{1}{u^n}un1 ?
non ce n'est pas possible il manque u′u'u′
Peut-on trouver une primitive de la fonction u′un\dfrac{u'}{u^n}unu′ avec n≠1n \ne 1n=1 ?
Oui 2 méthodes : Soit on l'apprend par coeur −1(n−1)un−1-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}−(n−1)un−11 Soit on la retrouve comme u′un=u′u−n\dfrac{u'}{u^n}=u'u^{-n}unu′=u′u−n et on connait une primitive de u′u−nu'u^{-n}u′u−n qui est u−n+1−n+1\dfrac{u^{-n+1}}{-n+1}−n+1u−n+1 === −1(n−1)un−1-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}−(n−1)un−11
Déterminer une primitive de la fonction fff définie par f(x)=1x4f(x)=\dfrac{1}{x^4}f(x)=x41
f(x)=1x4f(x)=\dfrac{1}{x^4}f(x)=x41 =x−4=x^{-4}=x−4 Une primitive de xnx^nxn est xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}n+1xn+1 Donc une primitive de fff est F(x)=F(x)=F(x)= x−3−3\dfrac{x^{-3}}{-3}−3x−3 =−13x3=-\dfrac{1}{3x^3}=−3x31
Déterminer une primitive de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= 52x\dfrac{5}{2x}2x5
f(x)f(x)f(x) =52×1x=\dfrac{5}{2} \times \dfrac{1}{x}=25×x1 Une primitive de 1x\dfrac{1}{x}x1 est ln⁡∣x∣\ln|x|ln∣x∣ Donc par linéarité une primitive de fff est F(x)=F(x)=F(x)= 52ln⁡∣x∣\dfrac{5}{2} \ln|x|25ln∣x∣
Déterminer une primitive de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= x32\dfrac{x^3}{2}2x3
f(x)=12×x3f(x)=\dfrac{1}{2} \times x^3f(x)=21×x3 Une primitive de xnx^nxn est xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}n+1xn+1 Donc une primitive de x3x^3x3 est x44\dfrac{x^4}{4}4x4 Donc par linéarité une primitive de fff est : F(x)=12×x44=x48F(x)= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{x^4}{4}= \dfrac{x^4}{8}F(x)=21×4x4=8x4
Déterminer une primitive de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= 6x1−x²\dfrac{6x}{1-x²}1−x²6x
F(x)=−3ln⁡∣1−x²∣F(x)=-3 \ln |1-x²|F(x)=−3ln∣1−x²∣ Explications : ETAPE 1 : On trouve la forme de fff le dénominateur est puissance 1 Donc fff est de la forme ...u\dfrac{...}{u}u... avec u=1−x²u=1-x²u=1−x² Donc u′=−2xu'=-2xu′=−2x Ainsi f=−3u′uf=\dfrac{-3u'}{u}f=u−3u′ =−3u′u=-3 \dfrac{u'}{u}=−3uu′ ETAPE 2 : On applique la formule de la primitive reconnue et la linéarité. une primitive de u′u\dfrac{u'}{u}uu′ est ln⁡∣u∣\ln |u|ln∣u∣ Donc par linéarité une primitive de fff est : F(x)=F(x)=F(x)= −…
Déterminer une primitive de la fonction fff définie par f(x)=f(x)=f(x)= 6(1+3x)²\dfrac{6}{(1+3x)²}(1+3x)²6
F(x)F(x)F(x) === −21+3x\dfrac{-2}{1+3x}1+3x−2 Explications : ETAPE 1 : On trouve la forme de fff le dénominateur est puissance 2 Donc fff est de la forme ...u²\dfrac{...}{u²}u²... avec u=1+3xu=1+3xu=1+3x Donc u′=3u'=3u′=3 Ainsi f=2u′u²f=\dfrac{2u'}{u²}f=u²2u′ === 2u′u−22 u' u^{-2}2u′u−2 ETAPE 2 : On applique la formule de la primitive reconnue et la linéarité. une primitive de u′unu' u^nu′un est un+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}n+1un+1 Donc une primitive de u′u−2u'u^{-2}u′u−2 est u−1−1\dfrac{u^{-…
Comment savoir avec un quotient si une primitive sera un ln⁡\lnln ou une puissance ?
Cela dépend de la puissance GLOGALE du dénominateur Si pas de puissance globale (= puissance 1) Alors primitive en ln⁡\lnln Si puisssance globale >1 Alors primitive en puissance