[CBPM] TSpé - CH5 - Vecteurs

30 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

1. Quelles sont les coordonnées du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB}AB dans l'espace ?

   ABundefined(xB−xAyB−yAzB−zA) \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array} \right)AB ⎝ ⎛​xB​−xA​yB​−yA​zB​−zA​​⎠ ⎞​

2. Quelles sont les coordonnées du milieu M du segment [AB][AB][AB] ?

   M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)M \left( \frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2} ; \frac{z_A+z_B}{2} \right)M(2xA​+xB​​;2yA​+yB​​;2zA​+zB​​)

3. Que signifie colinéaire ?

   même direction (droites parallèles)

4. Que signifie coplanaire ?

   être dans le même plan

5. Quels sont les éléments mathématiques qui peuvent être coplanaires?

   des points coplanaires des vecteurs coplanaires des droites coplanaires

6. Quels sont les éléments mathématiques qui peuvent être colinéaires?

   la colinéarité est seulement pour des VECTEURS COLINEAIRES Car Le vocabulaire se "rapprochant de la colinéarité" pour les autres objets est : points alignés droites parallèles plans parallèles

7. A quelle condition 2 vecteurs sont-ils colinéaires ?

   s'ils ont le même direction (càd portés par des droites parallèles) OU si leurs coordonnées sont proportionnelles OU si l'un peut s'écrire en fonction du 2ème vundefined=kuundefined \overrightarrow{v}=k \overrightarrow{u} v =ku

8. A quelle condition 2 vecteurs sont coplanaires ?

   2 vecteurs sont toujours coplanaires.

9. A quelle condition 3 vecteurs sont coplanaires ?

   Si leurs représentants de même origine ont leurs extrémités dans un même plan OU Si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des 2 autres vecteurs. uundefined=avundefined+bwundefined \overrightarrow{u}=a \overrightarrow{v} +b \overrightarrow{w} u =av +bw on dit qu'ils sont linéairement DEPENDANTS

10. A quelle condition 2 points sont ils coplanaires ?

    Toujours car 2 points forment une droite qui est elle -même bien évidemment incluse dans un plan

11. A quelle condition 3 points sont ils coplanaires ?

    Toujours car 3 points forment un plan

12. A quelle condition 4 points sont ils coplanaires ?

    Si 3 vecteurs formés par ces 4 points sont eux-mêmes coplanaires.

13. A quelle condition des vecteurs ne sont pas coplanaires ?

    s'il N'EXISTE PAS de réels aaa et bbb tels que uundefined=avundefined+bwundefined \overrightarrow{u}=a \overrightarrow{v} +b \overrightarrow{w} u =av +bw METHODE pour montrer que les réels n'existent pas : Tenter de résoudre le système de 3 équations (une pour chaque coordonnée) à 2 inconnues aaa et bbb et montrer que ce système est incompatible.

14. Quelle est la méthode pour montrer qu'il n'existe pas de réels aaa et bbb tels que uundefined=avundefined+bwundefined \overrightarrow{u}=a \overrightarrow{v} +b \overrightarrow{w} u =av +bw ?

    Tenter de résoudre le système de 3 équations (une pour chaque coordonnée) à 2 inconnues aaa et bbb et montrer que ce système est incompatible (en aboutissant à une égalité fausse ou 2 égalités incohérentes)

15. Quelle sont les méthodes pour montrer qu'il existe des réels réels aaa et bbb tels que uundefined=avundefined+bwundefined \overrightarrow{u}=a \overrightarrow{v} +b \overrightarrow{w} u =av +bw ?

    METHODE 1 : sans coordonnées avec des égalités de vecteurs et Chasles Partir d'une égalité de vecteurs connue ou d'un seul vecteur et Décomposer grâce à la propriété de Chasles et/ou grâce aux données de l'énoncé pour faire apparaitre les vecteurs voulus METHODE 2 : Avec les coordonnées Résoudre le système de 3 équations (une pour chaque coordonnée) à 2 inconnues aaa et bbb montrer que ce système est compatible (en aboutissant aux valeurs de aaa et bbb et à une dernière égalité vraie ou cohéren…

16. A quelle condition (uundefined;vundefined) \big( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \big) (u ;v ) est-elle une base du plan ?

    si les 2 vecteurs NE SONT PAS COLINEAIRES

17. A quelle condition (uundefined;vundefined;wundefined) \big( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \big) (u ;v ;w ) est-elle une base de l'espace ?

    si les 3 vecteurs NE SONT PAS COPLANAIRES

18. Comment montrer que 2 droites sont parallèles ?

    Si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires

19. Comment montrer que 2 droites sont sécantes ?

    METHODE 1 : Grâce aux coordonnées Résoudre le système de 6 équations (une pour chaque coordonnée pour chaque droite) à 5 inconnues ( x,y,z,t,t′x, y, z, t, t'x,y,z,t,t′ ) et trouver les coordonnées du point d'intersection (x;y;z)(x;y;z)(x;y;z) METHODE 2 : Sans coordonnées Trouver et nommer, grâce à la figure, le point d'intersection des 2 droites.

20. Comment montrer que 2 droites sont coplanaires ?

    Il suffit de montrer qu'elles sont soit parallèles soit sécantes.

21. Comment montrer que 2 droites ne sont pas parallèles ?

    Si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires

22. Comment montrer que 2 droites ne sont pas sécantes ?

    Tenter de résoudre le système de 6 équations (une pour chaque coordonnée pour chaque droite) à 5 inconnues ( x,y,z,t,t′x, y, z, t, t'x,y,z,t,t′ ) et montrer que ce système est incompatible (en aboutissant à une égalité fausse ou 2 égalités incohérentes)

23. Comment montrer que 2 droites ne sont pas coplanaires ?

    on montre 2 choses que les droites ne sont pas parallèles que les droites ne sont pas sécantes On en conclut que les droites ne sont pas coplanaires. En effet car dans un plan des droites ne peuvent avoir que 2 positions : soit sécantes soit parallèles.

24. Comment montrer que la droite (Duundefined)(D_{\overrightarrow u})(Du ​) est parallèle au plan (ABC)(ABC)(ABC) ?

    METHODE 1 : Avec des vecteurs du plan on montre que uundefined\overrightarrow uu , ABundefined\overrightarrow {AB}AB et ACundefined\overrightarrow {AC}AC sont coplanaires. METHODE 2 : (très facile mais étudiée seulement dans un prochain chapitre) Avec un vecteur NORMAL nundefined\overrightarrow nn au plan on montre que uundefined\overrightarrow uu et nundefined\overrightarrow nn sont orthogonaux.

25. Comment calculer la longueur du segment [AB] grâce aux coordonnées ?

    AB=(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²AB=\sqrt{(x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²+(z_B-z_A)²}AB=(xB​−xA​)²+(yB​−yA​)²+(zB​−zA​)² ​

26. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Les vecteurs HGundefined,DEundefined,DHundefined \overrightarrow{HG} , \overrightarrow{DE} , \overrightarrow{DH} HG ,DE ,DH sont-ils coplanaires ?

    Non les 3 vecteurs ne sont pas coplanaires car leurs représentants d'origine D ont leurs extrémités qui ne sont pas dans un même plan contenant D aussi.

27. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Les vecteurs ABundefined,QFundefined,MNundefined \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{QF} , \overrightarrow{MN} AB ,QF ​,MN sont-ils coplanaires ?

    Oui les 3 vecteurs sont coplanaires dans le plan (ABCD) ou (EFGH)

28. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Quelle est la position de la droite (QP) et du plan (AEF) ?

    (QP) parallèle au plan (AEF) car (QP) // (EB) droite des milieux dans le triangle BEG et (EB) est incluse dans (AEF) Donc (QP) est parallèle au plan (AEF) car elle est parallèle à une droite de ce plan.

29. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Les vecteurs HGundefined,HEundefined,HFundefined \overrightarrow{HG} , \overrightarrow{HE} , \overrightarrow{HF} HG ,HE ,HF sont-ils coplanaires ?

    Oui les 3 vecteurs sont coplanaires dans le plan (EFGH)

30. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Les vecteurs HGundefined,HEundefined,HDundefined \overrightarrow{HG} , \overrightarrow{HE} , \overrightarrow{HD} HG ,HE ,HD sont-ils coplanaires ?

    Non les 3 vecteurs ne sont pas coplanaires car les 4 points H, G, E et D (origine commune est les 3 extrémités) ne peuvent pas être contenus dans un même plan.