[CBPM] TSpé - CH10 - Produit Scalaire dans l'espace
19 flashcards · Mathematics · by Carine Brun
A quoi sert un produit scalaire ?
Essentiellement à démontrer que 2 vecteurs sont orthogonaux en trouvant un produit scalaire nul. Et de temps en temps à calculer un angle entre 2 vecteurs ou une longueur en utilisant la formule du produit scalaire avec le cosinus et 2 longueurs.
Quelle est l’unité du produit scalaire ?
Il n’ a pas d’unité, le produit scalaire est un nombre.
Quelle est la définition du produit scalaire uundefined.vundefined\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} u .v de 2 vecteurs de l'espace?
Dans l'espace, un produit scalaire se calcule comme dans un plan en trouvant un plan contenant les 2 vecteurs.
Combien il y a-t-il de méthodes pour calculer un produit scalaire ? et quelles sont -elles ?
4 Méthodes : 1 dans l’espace : avec les coordonnées dans un repère 3 dans le plan (vues en 1S) avec : la projection orthogonale 3 longueurs 2 longueurs et un angle
Comment doit être le repère pour utiliser l’expression du produit scalaire avec des coordonnées ?
Le repère doit être orthonormé ce qui signifie : axes orthogonaux même unité sur les axes ∥i⃗∥=∥j⃗∥=∥k⃗∥=1 \| \vec{i} \| = \| \vec{j} \| = \| \vec{k} \| =1∥i ∥=∥j ∥=∥k ∥=1
Comment obtenir un repère orthonormé avec un parallélépipède rectangle ?
Il suffit de "normer" les axes en multipliant chacun des 3 vecteurs orthogonaux par l’inverse de leur longueur. Exemple : (E,1EHEHundefined,1EFEFundefined,1EDEDundefined)(E, \frac{1}{EH} \overrightarrow{EH}, \frac{1}{EF} \overrightarrow{EF} , \frac{1}{ED} \overrightarrow{ED} ) (E,EH1EH ,EF1EF ,ED1ED ) est un repère orthonormé de l'espace.
Comment calculer un produit scalaire uundefined.vundefined\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} u .v si on connait les coordonnées dans un repère orthonormé de l’espace ?
uundefined.vundefined=xuundefinedxvundefined+yuundefinedyvundefined+zuundefinedzvundefined\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} =x_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}} + y_{\overrightarrow{u}} y_{\overrightarrow{v}}+z_{\overrightarrow{u}} z_{\overrightarrow{v}}u .v =xu xv +yu yv +zu zv
Comment calculer un produit scalaire ABundefined.CDundefined\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} AB .CD dans un plan avec la projection orthogonale ?
On note C’ et D’ les projetés orthogonaux de C et D sur (AB) Alors ABundefined.CDundefined=ABundefined.C′D′undefined\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{C'D'} AB .CD =AB .C′D′ Remarque : On transforme un produit scalaire de vecteurs quelconques en un autre produit scalaire de vecteurs COLINEAIRES qui est très facile à calculer
Comment calculer un produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires ABundefined.C′D′undefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{C'D'} AB .C′D′ ?
2 cas possibles : si les vecteurs sont COLINEAIRES MEME SENS ABundefined.C′D′undefined=AB×C′D′ \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{C'D'} = AB \times C'D'AB .C′D′ =AB×C′D′ si les vecteurs sont COLINEAIRES DE SENS CONTRAIRES ABundefined.C′D′undefined=−AB×C′D′ \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{C'D'} =-AB \times C'D'AB .C′D′ =−AB×C′D′
Comment calculer un produit scalaire si on connait l’angle entre les 2 vecteurs ?
Le produit scalaire est le produit des longueurs et du cosinus de l'angle entre les vecteurs Il y a 2 façons de l'écrire : Si les 2 vecteurs ont la même origine ABundefined.ACundefined=AB×AC×cosBACundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} =AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} AB .AC =AB×AC×cosBAC Sinon uundefined.vundefined=∥uundefined∥×∥vundefined∥×cos(uundefined,vundefined) \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \| \overrightarrow{u} \| \times \| \overrightarrow{v} \| \times…
Comment calculer un produit scalaire uundefined.vundefined \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} u .v avec 3 longueurs ?
2 méthodes : Si on sait calculer uundefined+vundefined \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} u +v alors uundefined.vundefined= \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} =u .v = 12\frac{1}{2}21 (∥uundefined+vundefined∥²−∥uundefined∥²−∥vundefined∥²)\big( \| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \| ²- \| \overrightarrow{u} \|² - \| \overrightarrow{v} \|² \big)(∥u +v ∥²−∥u ∥²−∥v ∥²) Si on sait calculer uundefined−vundefined \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v} u −v alors uundefined.vundefined=…
Comment calculer le produit scalaire ABundefined.BCundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{BC} AB .BC avec les 3 longueurs ?
On sait calculer ABundefined+BCundefined=ACundefined \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} AB +BC =AC Donc on choisit la méthode avec la somme des vecteurs uundefined.vundefined= \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} =u .v = 12\frac{1}{2}21 (∥uundefined+vundefined∥²−∥uundefined∥²−∥vundefined∥²)\big( \| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \| ²- \| \overrightarrow{u} \|² - \| \overrightarrow{v} \|² \big)(∥u +v ∥²−∥u ∥²−∥v ∥²) Ainsi ABundefined.BCundefined \overright…
Comment calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} AB .AC avec les 3 longueurs ?
On sait calculer ABundefined−ACundefined=ABundefined+CAundefined=CBundefined \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} AB −AC =AB +CA =CB Donc on choisit la méthode avec la différence des vecteurs uundefined.vundefined= \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} =u .v = 12\frac{1}{2}21 (∥uundefined∥²+∥vundefined∥²−∥uundefined−vundefined∥²)\big( \| \overrightarrow{u} \|² + \| \overrightarrow{v} \|² - \| \overrightarrow{u}- \overrigh…
Quelles sont les propriétés de calcul du produit scalaire ?
symétrie du produit scalaire uundefined.vundefined=vundefined.uundefined\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}. \overrightarrow{u}u .v =v .u 2 propriétés pour la linéarité uundefined.(vundefined+wundefined)=uundefined.vundefined+uundefined.wundefined\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}u .(v +w )=u .v +u .w uundefined.(kvundefined)=k(uundefined.vundefined)\overrightarrow{u}.(k\over…
Comment calculer la longueur d'un segment [AB] avec les coordonnées ?
AB=AB=AB= xABundefined²+yABundefined²+zABundefined²\sqrt{x_{ \overrightarrow{AB}}²+y_{ \overrightarrow{AB}}²+z_{ \overrightarrow{AB}}²}xAB ²+yAB ²+zAB ² qui est la même formule que celle vue en seconde AB=(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²AB=\sqrt{(x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²+(z_B-z_A)²}AB=(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²
ABCDEFGH est un cube d'arête aaa . Calculer le produit scalaire ABundefined.DGundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} AB .DG en utilisant la méthode de la décomposition
ABundefined.DGundefined=ABundefined.AFundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AF} AB .DG =AB .AF car DGundefined=AFundefined\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AF}DG =AF ABundefined.DGundefined=ABundefined.(ABundefined+BFundefined)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})AB .DG =AB .(AB +BF ) d'après Chasles ABundefined.DGundefined=ABundefined.ABundefined+ABundefined.BFundefined\overr…
ABCDEFGH est un cube d'arête aaa . Calculer le produit scalaire ABundefined.DGundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} AB .DG en utilisant la méthode de la projection orthogonale
ABundefined.DGundefined=ABundefined.AFundefined=ABundefined.ABundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AB} AB .DG =AB .AF =AB .AB par projection orthogonal sur (AB) Donc ABundefined.DGundefined=AB² \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} =AB²AB .DG =AB² =a²=a²=a²
ABCDEFGH est un cube d'arête aaa . Calculer le produit scalaire ABundefined.DGundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} AB .DG en utilisant la méthode du cosinus
ABundefined.DGundefined=ABundefined.AFundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AF} AB .DG =AB .AF car DGundefined=AFundefined\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AF}DG =AF ABundefined.DGundefined=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DG}=AB .DG = AB×AF×cosBAFundefinedAB \times AF \times \cos \widehat{BAF} AB×AF×cosBAF ABundefined.DGundefined= \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} =AB .DG = a×2a×cos(π4)a \times \sqrt 2 a \times \cos(\frac{\pi…
ABCDEFGH est un cube d'arête aaa . Calculer le produit scalaire ABundefined.DGundefined \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{DG} AB .DG en utilisant la méthode des coordonnées
On se place dans le repère orthonormé (A,1aABundefined,1aADundefined,1aAEundefined)(A, \frac{1}{a} \overrightarrow{AB} , \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} , \frac{1}{a} \overrightarrow{AE} )(A,a1AB ,a1AD ,a1AE ) Alors A(0;0;0)A(0;0;0)A(0;0;0) , B(a;0;0)B(a;0;0)B(a;0;0) , D(0;a;0)D(0;a;0)D(0;a;0) et G(a;a;a)G(a;a;a)G(a;a;a) Donc ABundefined\overrightarrow{AB}AB (xB−xAyB−yAzB−zA)\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\z_B - z_A \end{pmatrix} ⎝ ⎛xB−xAyB−yAzB−zA⎠ ⎞ =(a00)=\begin{pmatrix}…