[CBPM] TSpé - CH11 - Espace : Equations Plan et RP droites

19 flashcards · Mathematics · by Carine Brun

1. Quelle est la définition d’un vecteur normal à un plan ?

   C’est un vecteur orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan.

2. Combien existe-t-il de vecteur normal à un plan et quelle propriété ont-ils ?

   Il existe une infinité de vecteurs normaux à un plan. Ils sont tous colinéaires entre eux.

3. Que faut-il connaître d’un plan pour déterminer une équation cartésienne ?

   Les coordonnées d’un point du plan et d’un vecteur normal au plan

4. Quelle est la méthode pour trouver l’équation cartésienne d’un plan ?

   On utilise un vecteur normal n⃗\vec{n}n (a;b;c)(a;b;c)(a;b;c) pour donner la forme de l'équation du plan ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 avec ddd à trouver. Puis on trouve ddd en remplaçant dans l'équation du plan x,yx, yx,y et zzz par les coordonnées d'un point du plan.

5. Pour réfléchir aux positions de droites dans l’espace, par quoi modélise-t-on une droite ?

   Par un vecteur directeur

6. Pour réfléchir aux positions de plans dans l’espace, par quoi modélise-t-on un plan ?

   Par un vecteur normal

7. Comment montrer que 2 plans sont parallèles ?

   Si leurs vecteurs normaux sont colinéaires

8. Comment montrer que 2 plans sont orthogonaux ?

   Si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux

9. Comment montrer que 2 plans sont sécants ?

   S’ils ne sont pas parallèles.

10. Comment montrer qu’un plan et une droite sont parallèles ?

    Si un vecteur normal du plan et un vecteur directeur de la droite sont orthogonaux

11. Comment montrer qu’un plan et une droite sont orthogonaux ?

    Si un vecteur normal du plan et un vecteur directeur de la droite sont colinéaires

12. Comment montrer qu’un plan et une droite sont sécants ?

    s'ils ne sont pas parallèles.

13. Comment déterminer l’intersection d’un plan et d’une droite ?

    Il faut résoudre un système avec une équation cartésienne du plan et une représentation paramétrique de la droite donc 4 équations pour 4 inconnues (x,y,z,t)(x,y,z,t)(x,y,z,t) pour obtenir les coordonnées du point d’intersection. car Rappel : L’intersection d’un plan ou d’une droite est un point. Méthode pour résoudre le système : Remplacer dans l’équation du plan x,yx, yx,y et zzz par leur expression en fonction de ttt . En déduire t. Calculer alors la valeur des coordonnées x,yx, yx,y et zzz…

14. Comment montrer que 2 droites sont parallèles ?

    Si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

15. Comment montrer que 2 droites sont orthogonales ?

    Si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

16. Comment montrer que 2 droites sont sécantes ?

    Si elles ont un point d’intersection que l’on cherche en résolvant un système avec les 2 représentations paramétriques des 2 droites donc 6 équations pour 5 inconnues (x,y,z,t(x,y,z,t(x,y,z,t et t′)t')t′) Méthode : Résoudre le mini système associé formé par 3 équations à 2 inconnues (t(t(t et t′)t')t′) Soit on trouve un système compatible (3ème égalité cohérente avec les 2 premières) Alors les droites sont sécantes en un point dont on peut calculer les coordonnées x,yx, yx,y et zzz en remplaçan…

17. Comment montrer que 2 droites sont coplanaires ?

    Si elles sont soit parallèles soit sécantes

18. Quel est le volume d’un tétraèdre ?

    Vteˊtraeˋdre=Abase×h3V_{\textrm{tétraèdre}}=\dfrac{A_{\textrm{base} } \times h}{3}Vteˊtraeˋdre​=3Abase​×h​

19. Comment montrer que 2 droites sont non coplanaires ?

    Si elles ne sont ni parallèles ni sécantes