Diskrete Strukturen - 2. Kapitel - Mengen

Mengen, Teilmengen, Rechenoperationen an Mengen

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1. Was sind natürliche Zahlen ?

   Die Menge N = {1,2,3,...} Nehmen wir die Zahl ”0” hinzu, so schreiben wir N0 ={0,1,2,3,...} Die natürlichen Zahlen sind geordnet: Zu jeder Zahl n gibt es einen eindeutigen Nachfolger n+1

2. Was sind ganze Zahlen ?

   Die Menge Z = {...,−2,−1,0,1,2,3,...} Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl: N ⊆ Z

3. Was sind rationale Zahlen ?

   Die Menge Q = { pq\frac p qqp​ | q ≠\not == 0 und p, q ∈ Z } heißt Menge der rationalen Zahlen oder auch Menge der Bruchzahlen

4. Was sind reelle Zahlen ?

   Die Menge R der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen und aus Zahlen, die sich beliebig genau durch rationale Zahlen ”approximieren” ( annähern ) lassen z.B. die Zahl Pi

5. Was sind komplexe Zahlen ?

   Die Menge C = {x + i · y |x, y ∈ R} heißt Menge der komplexen Zahlen Die Zahl i ∈ C wird imaginäre Einheit genannt stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar. Ziel der Erweiterung ist es, algebraische Gleichungen wie { x2+1=0\displaystyle x^{2}+1=0x2+1=0 } bzw. { x2=−1\displaystyle x^{2}=-1x2=−1 } lösbar zu machen.

6. Welche Zahlenmengen sind abgebildet ? (von innen nach außen)

   natürliche Zahlen ganze Zahlen rationale Zahlen reelle Zahlen komplexe Zahlen

7. (Rechenregeln für Ungleichungen) Für a, b, c ∈ Q gilt: a < b und b < c ⇒ a < c a < b ⇔ a + c < b + c a < b ⇔ ac < bc falls c > 0 a < b ⇔ ac > bc falls c < 0

   Die Regeln bleiben auch gültig, wenn man < durch ≤ ersetzt

8. Wenn bn b^n bn = a für a ,b ≥ 0, n ∈ N, so heißt b die n-te Wurzel von a. Man schreibt b = na n\sqrt ana ​ oder auch b = a1n a^\frac 1 nan1​ und b ist für jede positive reelle Zahl a eindeutig bestimmt.

9. Rechenregeln für Potenzen:

10. Absolutbetrag oder kurz Betrag einer reellen Zahl s ist definiert durch |a| = a wenn a ≥ 0 und |a| = -a wenn a < 0

11. Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte einer Menge M werden die Elemente von M genannt.

    a ∈ M - wenn a ein Element von M ist a ∉\not ∈ ∈ M - wenn a kein Element von M |A| - Mächtigkeit oder auch Kardinalität ist die Anzahl der Elemente einer Menge A Beispiel: M = {1, 2, 3, 4, 5} ist die Menge, die aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 besteht. Es ist 1 ∈ M, aber 7 ∉ \not ∈∈ M |{1, 2, 3}| = 3

12. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente beinhalten. Auf die Reihenfolge der Elemente kommt es also nicht an A = {i, n, f, o, r, m, a, t, i, k} und A = {k, i, t, a, m, r, o, f, n, i}

    Jedes Element einer Menge wird nur einmal gezählt und braucht auch nur einmal angeschrieben werden. Die Menge der Buchstaben des Namens ”OTTO” ist daher M={O, T}

13. Zählen Sie die Elemente der Menge A = {x ∈ Z : x2x^2x2 = 4} auf:

    A = {2, -2};

14. Wie viele Elemente beinhaltet die Menge C = {a, b, c, a, b, c}

    |C| = 3

15. Die Elemente einer Menge können selbst komplexere Strukturen sein z.B. Mengen oder Tupel. Beispiel: {[k, 2k] : k ∈ Z} ist die Menge von Paaren ganzer Zahlen, deren zweite Komponente doppelt so groß ist wie die erste. Elemente dieser Menge sind z. B. [−1, −2], [0, 0] und [5, 10].

    Beispiel: Mit der Menge der Booleschen Werte B ist {[a, b] : a ∈ B, b ∈ B} = {[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]} die Menge aller Paare von Wahrheitswerten. Beispiel: {{a, b} : a ∈ N, b ∈ N | a 6= b} ist die Menge der zwei-elementaren Teilmengen von N. Elemente dieser Menge sind z. B. {1, 2}, {1, 42} und {17, 42}

16. Was ist eine Teilmenge ?

    Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist x ∈ A ⇒ x ∈ B Man schreibt dann A ⊆ B. Ist A weder gleich noch Teilmenge von B, so schreibt man A ⊈ B D={1, 2, 3} ⊆ E={1, 2, 3} - eine Teilmenge da die gleich sind

17. Was ist eine echte Teilmenge ?

    A ist Teilmenge von B, aber A ≠ \not== B ( sind nicht identisch ) so schreibt man A ⊂ B oder A ⊊ B . Wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. Wenn B zudem weitere Elemente enthält, die nicht in A enthalten sind, so ist A eine echte Teilmenge von B und B ist eine echte Obermenge von A. A={1, 2, 3} ⊂ B={0, 1, 2, 3} - eine echte Teilmenge da die nicht gleich sind

18. Was ist eine Potenzmenge ?

    Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge, die alle Teilmengen ( mögliche Kombinationen von Elementen) von M als Elemente enthält: P(M) = {X |X ⊆ M} Für die Potenzmenge P(M) einer n-elementaren Menge M gilt die Mächtigkeit (Kombinationsmöglichkeiten): | P(M)| = 2n 2^n2n Beispiel: E = {1, 2, 3 } > > > | E| = 3 > > > P (E) = 232^323 = 8 P(E) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} - hier sieht man das es 8 Teilmengen gibt

19. Was ist ein Durchschnitt zweier Mengen ?

    Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge A als auch der Menge B sind. A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

20. Was ist eine Vereinigung zweier Mengen ?

    Sind alle Elemente zweier Mengen A und B die sich zu einer neuen Menge vereinen. Die Menge U soll dabei die Menge sein, die alle möglichen Elemente enthält. Sie wird Universum genannt. A∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

21. Was sind disjunkte Mengen ?

    zwei Mengen A und B die Kein gemeinsames Element haben. Zwei Mengen sind also genau dann disjunkt, wenn die Menge A ∩ C kein Element besitzt. Eine solche Menge ohne Elemente nennt man „Leere Menge“, welche als ∅ notiert wird oder { }. A ∩ C = ∅ Da sie keine Elemente hat, ist ihre Mächtigkeit |∅| = 0 Die leere Menge ist eine Teilmenge einer jeden Menge.

22. Was ist die Differenz zweier Mengen ?

    ist die Menge der Elemente von A ohne die Elemente von B. A\B = {x | x ∈ A und x ∉\not∈∈ B} - (" A ohne B ") Ist B eine Teilmenge von A, so bezeichnet man A\B auch als das Komplement von B in A und schreibt dafür ¬B (weil B in A ist, sind die Elemente deren Differenz die Elemente die in A sind aber nicht in B und das sind die ¬B Elemente)

23. Was ist eine Komplementärmenge ?

    Die Menge aller Elemente, die nicht zu A gehören, heißt Komplement von A. ¬A = {x | x ∉\not∈∈ A} Ist A eine Teilmenge von B (alle Elemente von A gehören B) ist die Differenz von denen das Komplement von A in B und man kann es ¬A schreiben Das Komplement (die Komplementärmenge) ist ein Spezialfall der Differenzmenge. Offensichtlich ist jede Komplementärmenge auch eine Differenzmenge, eine Differenzmenge muss jedoch keine Komplementärmenge sein. Differenzmenge ist der allgemeinere Begriff.

24. Komplementärmenge: Beispiel M = { x | (x ∈ N) ∧ (P(x) )}. P(x) sind alle geraden Zahlen.

    M = { x | (x ∈ N ) ∧ (¬P(x))}. ¬P(x) sind alle ungeraden Zahlen

25. Mengenoperationen: Kommutativität

    A ∩ B ⇔ B ∩ A A ∪ B ⇔ B ∪ A

26. Mengenoperationen: Assoziativität

    A ∩ (B ∩ C) ⇔ (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) ⇔ (A ∪ B) ∪ C

27. Mengenoperationen: Distributivität

    A ∩ (B ∪ C) ⇔ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) ⇔ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

28. Mengenoperationen: Absorption

    A ∩ (A ∪ B) ⇔ A A ∪ (A ∩ B) ⇔ A

29. Mengenoperation: de Morgan

    ¬(A ∩ B) ⇔ (¬A ∪ ¬B) ¬(A ∪ B) ⇔ (¬A ∩ ¬B)

30. Mengenoperation: doppelte Komplementbildung

    ¬(¬A) ⇔ A

31. Mengenoperation: Idempotenz:

    A ∩ ¬A = A A ∪ ¬A = A

32. Mengenoperation im Fall A ⊆ B - Was ist die Vereinigung, der Durchschnitt, die Differenz ?

    A ∪ B = B; A ∩ B = A; A \ B = ∅ ( Die Differenz gibt es nicht da A "im" B ist) Zusatz: A ∪ ∅ = A; (Mengenoperation: neutrales Element) A ∩ ∅ = ∅; A ∪ G = G; A ∩ G = A ( A Vereinigung mit einen Leeren Menge ist gleich A, und der Durchschnitt mit einen Leeren Menge gibts nicht ist auch leer) ( A Vereinigung mit Grundmenge alles außerhalb A ist G weil es ja A absorbiert, und der Durchschnitt ist ja die ganze Menge A)

33. Mengenoperation: Teilmengen

    A ⊆ A ∪ B; B ⊆ A ∪ B A ∩ B ⊆ A; A ∩ B ⊆ B Teilmengen sind gleich A = B

34. Mengenoperation: leere Mengen

    A ∪ ¬A = G; (sind eigentlich alle Elemente) A ∩ ¬A = ∅ ¬∅ = G; ¬G = ∅ G = Grundmenge (alle Elemente)oder U = Universum

35. Vereinfachung von Mengenausdrücken:

36. Was ist das Kartesisches Produkt ?

    Das kartesische Produkt M × N (gesprochen “M kreuz N”) zweier Mengen M und N ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) mit x ∈ M und y ∈ N: M × N = (x, y) | x ∈ M und y ∈ N. Man bezeichnet (x, y) als geordnetes Paar (auch: Tupel). Zwei geordnete Paare (x, y) und (x′ , y′ ) sind genau dann gleich, wenn x = x′ und y = y′ ist {1, 2} × {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} Anmerkung: A × B ist nicht gleich B × A

37. Kartesisches Produkt: Die Menge aller Paare, in denen auf einen der Buchstaben x oder y eine der Ziffern 1, 2 oder 3 folgt.

    {[a, b] : a ∈ {x, y}, b ∈ {1, 2, 3}} Fur die erste Komponenten eines Paares gibt es zwei Möglichkeiten (x bzw. y). Fur die zweite Komponente eines Paares gibt es jeweils drei Möglichkeiten (1, 2 bzw. 3). Insgesamt gibt es also 2 · 3 = 6 mögliche Paare, nämlich [x, 1], [x, 2], [x, 3], [y, 1], [y, 2], [y, 3] Daher ist {[a, b] : a ∈ {x , y}, b ∈ {1, 2, 3}} = {[x, 1], [x, 2], [x, 3], [y, 1], [y, 2], [y, 3]}

38. Seien L, M, N beliebige Mengen. Dann gelten folgende Rechengesetze: (L ∩ M) × N = (L × N) ∩ (L × M) N × (L ∩ M) = (N × L) ∩ (N ×M) (L ∪ M) × N = (L × N) ∪ (M × N) N × (L ∪ M) = (N ×L) ∪ (N ×M) L × M = ∅ ⇔ L = ∅ ∨ M = ∅