Produit scalaire

6 flashcards · Mathematics · by Nadine Aveneau

  1. Calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}AB .AC avec des vecteurs colinéaires

    Par définition: si les vecteurs ABundefined\overrightarrow{AB}AB et ACundefined\overrightarrow{AC}AC sont colinéaires de même sens alors ABundefined.ACundefined=AB×AC\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC AB .AC =AB×AC si les vecteurs ABundefined\overrightarrow{AB}AB et ACundefined\overrightarrow{AC}AC sont colinéaires de sens opposés alors ABundefined.ACundefined=−AB×AC\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AC AB .AC =−AB×AC Dans l'exemple, les vecteurs sont de sens opp…

  2. Calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}AB .AC connaissant un angle

    Par définition: uundefined.vundefined=∥uundefined∥∥vundefined∥cos(uundefined;vundefined)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u}\right\|\left\|\overrightarrow{v} \right\|cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})u .v =∥ ∥​u ∥ ∥​∥ ∥​v ∥ ∥​cos(u ;v ) ABundefined.ACundefined=∥ABundefined∥∥ACundefined∥cos(BACundefined)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left\| \overrightarrow{AB}\right\|\left\|\overrightarrow{AC} \right\|cos(\widehat{BAC}) AB .AC =∥ ∥​AB ∥ ∥​∥ ∥​AC ∥ ∥​…

  3. Calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}AB .AC connaissant les coordonnées des deux vecteurs dans un repère orthonormé.

    Par définition: uundefined.vundefined=xx′+yy′\overrightarrow { u }.\overrightarrow {v } =xx'+yy'u .v =xx′+yy′ ABundefined(−2−3)\overrightarrow{AB}\binom{-2}{-3}AB (−3−2​) et ACundefined(1−1)\overrightarrow{AC}\binom{1}{-1} AC (−11​) donc ABundefined.ACundefined=(−2)×1+(−3)×(−1)\overrightarrow { AB }.\overrightarrow {AC } =(-2)\times 1+(-3)\times(-1)AB .AC =(−2)×1+(−3)×(−1) soit ABundefined.ACundefined=1 \overrightarrow { AB }.\overrightarrow {AC } =1AB .AC =1

  4. Calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}AB .AC à l'aide du projeté orthogonal HHH de CCC sur (AB)(AB)(AB)

    Par définition: ABundefined.ACundefined=−AB×AH=−2×2=−4\overrightarrow {AB }.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH=-2\times 2=-4 AB .AC =−AB×AH=−2×2=−4

  5. Calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}AB .AC connaissant 3 longueurs.

    Par propriété: uundefined.vundefined=12(∥uundefined+vundefined∥2−∥uundefined∥2−∥vundefined∥2)\overrightarrow {u}.\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\left\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\|^2-\left\| \overrightarrow{u}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{v} \right\|^2)u .v =21​(∥ ∥​u +v ∥ ∥​2−∥ ∥​u ∥ ∥​2−∥ ∥​v ∥ ∥​2) et uundefined.vundefined=12(∥uundefined∥2+∥vundefined∥2−∥uundefined−vundefined∥2)\overrightarrow {u}.\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\left\| \overrightarrow{u}\right\|^2+\left\…

  6. Calculer le produit scalaire ABundefined.ACundefined\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}AB .AC en décomposant les vecteurs

    Méthode: décomposer les vecteurs en utilisant les angles droits ou des sommets de la figure puis développer. ABundefined.ACundefined=(AJundefined+JBundefined).(AIundefined+ICundefined)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JB}).(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})AB .AC =(AJ +JB ).(AI +IC ) ABundefined.ACundefined=AJundefined.AIundefined+AJundefined.ICundefined+JBundefined.AIundefined+JBundefined.ICundefined.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\ove…